Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
w = [g(e-n)/7-+1]-i. (1)8)
При температуре Т = 0 химический потенциал совпадает с граничной энергией
на поверхности сферы Ферми:
H-lr=o = ef=e(pf). (1,9)
х) Здесь и везде ниже по дважды повторяющимся индексам, как обычно,
подразумевается суммирование.
16
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
[ГЛ. I
Подчеркнем, что, несмотря на формальную аналогию выражения (1,8) с
обычным распределением Ферми, оно не тождественно с ним: поскольку е само
есть функционал от п, формула
(1,8) представляет собой, строго говоря, сложное неявное опре-делевде п.
Вернемся к сделанному предположению о. том, что каждой квазичастице может
быть приписан определенный импульс. Условие справедливости этого
предположения требует, чтобы неопределенность импульса (связанная с
конечностью длины свободного пробега квазичастицы) была мала не только по
сравнению с величиной самого импульса, но и по сравнению с шириной Ар
"области размытости" распределения - области, в которой оно существенно
отличается от "ступенчатой" функции *):
Легко видеть, что это условие соблюдается, если распределение я(р)
отличается от (1,10) лишь в малой области вблизи поверхности ферми-сферы.
Действительно, в силу принципа Паули взаимно рассеиваться могут только
квазичастицы в области размытости распределения, причем в результате
рассеяния они должны переходить в свободные состояния в той же области.
Поэтому вероятность столкновения пропорциональна квадрату ширины этой
области. Соответственно пропорциональна (Ар)'2 и неопределенность
энергии, а с нею и неопределенность импульса квазичастицы. Отсюда ясно,
что при достаточно малом Ар неопределенность импульса будет мала не
только по сравнению с рр, но и по сравнению с Ар.
Таким образом, излагаемый метод справедлив только для таких возбужденных
состояний жидкости, которые описываются функцией распределения
квазичастиц, отличающейся от "ступеньки" лишь в узкой области вблизи
поверхности Ферми. В частности, для термодинамически равновесных
распределений допустимы лишь достаточно низкие температуры. Ширина (по
энергии) области размытости равновесного распределения порядка Т.
Квантовая же неопределенность энергии квазичастицы, связанная со
столкновениями, - порядка величины %/х, где т - время свободного пробега
квазичастицы. Поэтому условие
*) Отметим для дальнейшего, что производная
Действительно, обе стороны этого равенства дают одинаковый результат
(единицу) при интегрировании по любому интервалу р, содержащему точку P =
PF-
при p<pF, при p>pF.
(1,10)
0' (p) = - b(p - pF).
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
17
применимости теории
hi%<*T. (1,п)
При-этом, согласно сказанному выше, время т обратно пропорционально
квадрату ширины области размытости, т. е.
тел Г-2,
так что (1,11) заведомо выполняется при Т->-0. Для жидкости, в которой
взаимодействие между частицами не является слабым, все энергетические
параметры по порядку величины совпадают с граничной энергией ef; в этом
смысле условие (1,11) эквивалентно условию T^e^l1).
Для распределений, близких к "ступенчатому" (распределение при Т = 0),
можно, в первом приближении, заменить функционал е его значением,
вычисленным для п(р) = 0(р). Тогда е становится определенной функцией
величины импульса, и формула (Г,7) становится обычным распределением
Ферми.
При этом вблизи поверхности ферми-сферы, где функция е (р) только и имеет
непосредственный физический смысл, ее можно разложить по степеням
разности р-pF. Имеем
8-е F&vF(p - pF), (1,12)
где
VF = SI V'13)
t optP=PF
есть "скорость" квазичастиц на ферми-поверхности. В идеальном ферми-газе,
где квазичастицы тождественны с истинными частицами, имеем е = р3/2т, так
что vF = pF',m. По аналогии можно ввести для ферми-жидкости величину
m* = pFlvF, (1,14)
назвав ее эффективной массой квазичастицы; эта величина положительна (см.
конец § 2).
В терминах введенных таким образом величин условие применимости теории
можно записать как Т <^.vFpF,- причем реальным смыслом обладают лишь
квазичастицы с импульсами р, для которых | р-pF\<zZ.pF. Подчеркнем лишний
раз последнее обстоятельство и отметим, что оно придает в особенности
нетривиальный характер соотношению (1,1) между pF и плотностью жидкости,
поскольку его наглядный вывод (для фер-ми-газа) основан на представлении
о частицах в состояниях,
г) Для жидкого Не3, однако, область количественной применимости теории,
как показывает эксперимент, фактически ограничена температурами Т ^0,1К
(между тем как | eF | я: 2,5 К).
18
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
[ГЛ. I
заполняющих всю ферми-сферу, а не только окрестность ее поверхности*).
Эффективная масса определяет, в частности, энтропию S и теплоемкость С
жидкости при низких температурах. Они даются той же формулой, что и для
идеального газа (V § 58), в которой надо только заменить массу частицы т
эффективной массой т*:
(ввиду линейной зависимости от Т величины S и С совпадают).
Действительно, выражение (1,6) энтропии через функцию распределения
