Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Однако без кинетического уравнения (и его применения, в этом и следующем
параграфах) формулировка теории ферми-жидкости была бы недостаточно
полна. Нам понадобится здесь лишь уравнение без интеграла столкновений;
вопросы, связанные с конкретным видом интеграла столкновений, будут
рассмотрены в другом томе, посвященном физической кинетике.
§ 4]
НУЛЕВОЙ ЗВУК
27
Зависимость же через координаты и импульс дает члены
Роль гамильтоновой функции квазичастицы играет ее энергия е. В силу
уравнений Гамильтона имеем
Наконец, изменение со временем функции п как оператора по спиновым
переменным дается, по общим правилам квантовой механики, коммутатором
Однако при не зависящих от спина п0 и е0 члены первого порядка по Ьп в
этом коммутаторе отсутствуют.
Собирая написанные члены, получим уравнение
Прежде, чем приступить к использованию кинетического уравнения,
остановимся на условиях его применимости. Использовав классические (по
координатам и импульсу) уравнения, мы тем самым предполагали движение
квазичастиц квазиклас-сическим; это же предположение лежит по существу
уже в основе самого описания жидкости функцией распределения, зависящей
одновременно от координат и импульсов квазичастиц. Условие
квазиклассичности состоит в малости де-бройлевской длины волны
квазичастиц %!рР по сравнению с характерной длиной L, на которой
существенно меняется функция п. Введя вместо L "волновой вектор"
неоднородности k~ 1/L, запишем это условие в видег)
%k^pF. (4,6)
Частота со изменения функции распределения, устанавливающаяся при
заданном k, порядка величины a>~vFk и автоматически удовлетворяет условию
тН(r)'
(4,4)
dt ' др дг дг др
(4,5)
(4,7)
х) Согласно определению (1,1), %/рр порядка величины межатомных
расстояний, так что условие (4,6)-очень слабое.
28
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
[ГЛ. I
Соотношение же между и температурой Т может быть любым. Если то роль
ширины области размытости функции
распределения играет именно величина ш\ тогда (4,7) есть обязательное для
применимости всей теории условие, обеспечивающее малость квантовой
неопределенности энергии квазичастицы (связанной с их столкновениями) по
сравнению с %<о.
Применим теперь кинетическое уравнение к исследованию колебательных
движений ферми-жидкости.
При низких, но отличных от нуля температурах в ферми-жидкости происходят
взаимные столкновения квазичастиц, причем время их свободного пробега
тск>Т~2. Характер распространяющихся в жидкости волн существенно зависит
от величины произведения сот.
При сот<<;1 (что фактически эквивалентно условию малости длины пробега
квазичастицы I по сравнению с длиной волны %) столкновения успевают
установить термодинамическое равновесие в каждом (малом по сравнению с ^)
элементе объема жидкости. Это значит, что мы имеем дело с обычными
гидродинамическими звуковыми волнами, распространяющимися со скоростью и
=УдР/др. Поглощение звуковых волн при сот<^1 мало, но при увеличении сот
оно возрастает и при сот~1 становится очень сильным, так что
распространение звуковых волн становится невозможным *).
При дальнейшем увеличении сот, когда уже сот^>1, в ферми-жидкости снова
становится возможным распространение волн, имеющих, однако, другой
физический характер. В этих колебаниях столкновения квазичастиц не играют
роли и термодинамическое равновесие в каждом элементе объема не успевает
устанавливаться. Процесс можно рассматривать как происходящий при
абсолютном нуле температуры. Эти волны называют нулевым звуком.
Согласно сказанному выше, при сот;§> 1 в кинетическом уравнении можно
опустить интеграл столкновений; тогда
дбп дбп дпв дде _ "
dt + dr йр * ' (4'8'
где v = de/dp - скорость квазичастиц, вычисленная по невозмущенной
энергии е (v = i/fn, где п-единичный вектор в направлении р); индекс 0 у
е здесь и ниже опускаем.
При Г = О равновесная функция распределения ""представляет собой
ступенчатую функцию 0 (р), обрывающуюся у
J) При <вт<^1 коэффициент поглощения звука у - <в2г|/ри3, где г)-вязкость
жидкости. По порядку величины имеем u~vp, т]/р - vFl~v2Fт, где Vp-
скорость квазичастиц (не зависящая от температуры), так что со Т~2 (Я. Я,
Померашук, 1950). При этом уи/со ~ сот со ш/7'2.
НУЛЕВОЙ ЗВУК
29
предельного импульса р = рР. Ее производная ^ ==. - пб (р-pF) = - v6 (е -
eF).
Предполагая, что зависимость бп в волне от времени и координат дается
множителем exp[t(kr-toO]> будем искать решение кинетического уравнения в
виде
б". = б(е-Ер) v (п) е1 (кг-"0. (4,9)
Тогда уравнение (4,8) с дбе/дг из (4,3) принимает вид
(ю-yfnk)v(n) = nk-^rSp' J/(n, n')v(n')do't (4,10)
где п и n'-единичные векторы в направлениях р и р', а интегрирование
производится по направлениям п'.
Рассмотрим колебания (нулевой звук), не затрагивающие спиновых
характеристик жидкости. Это значит, что от спиновых переменных не зависит
не только равновесная функция распределения, но и ее "возмущение" б п. В
такой волне изменение функции распределения при колебаниях сводится к
