Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
значение
Pap (Г,, Г2) = -L<^, r2)%(t, ГХ)>. (7,13)
Знание этой матрицы позволяет определить среднее значение любой величины,
относящейся к отдельной частице. Действительно, пусть Fap - некоторый
"одночастичный" оператор, т. е. оператор вида
?"р=2/$, (7,14)
а
где /ор - оператор, действующий на координаты и спин лишь одной (a-й)
частицы, а суммирование производится по всем частицам в системе. В
аппарате вторичного квантования такой оператор записывается (в
гейзенберговском представлении) как
F<*р (0 =$$?(*, г) f^Wy (t, г) d*x (7,15)
(ср. III (64,23)). Отсюда ясно, что среднее значение величины F может
быть выражено в терминах матрицы плотности в виде
<Fy = N<f> = N § [fapPpa (гj, r2)]rs = rld3X1, (7,16)
где faр - оператор, действующий на координаты rt (положить г2 = гх надо
после воздействия оператора, но перед интегрированием).
Согласно (7,10), матрица плотности может быть выражена через гриновскую
функцию
Pap(ri, Га) = - Ga(3 (tlt rx; fx + 0, г,). (7,17)
48
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Г = 0 [гл. II
Здесь (как и везде ниже) обозначение аргумента функции в виде *!+0
означает, что имеется в виду предел при стремлении аргумента к значению
tx сверху. Взятием этого предела обеспечивается правильная расстановка
гр-операторов, совпадающая с их расстановкой в произведении (7,13).
Для микроскопически однородной системы матрица плотности зависит только
от разности -г2, а при независимости от
СПИНОВ рар=6арр. причем
где вместо Gap (Х?, Х2) введена функция G(X1 - X2)~G(X) согласно (7,12).
При г1 = г2 и после взятия следа по спиновым переменным произведение
операторов в (7,13) превращается в -оператор плотности числа частиц в
системе. Поэтому средняя плотность тела
(/ стремится к нулю снизу). Это равенство связывает химический потенциал
^ при Т = 0 (от которого G зависит как от параметра) с плотностью числа
частиц N/V.
Фурье-разложение функции р(г,, г2) определяет распределение частиц по
импульсамJ)
Это есть число частиц (в единице объема) с определенным значением
проекции спина и с импульсами в интервале d3p/(2it)3. Подчеркнем, что
речь идет здесь об истинных частицах, а не о квазичастицах (последние в
излагаемом аппарате еще не появились!). Обозначение N (р) введено в
отличие от функции распределения квазичастиц п(р).
J) Напомним (см. III § 14), что одночастичиая матрица плотности есть
интеграл
где Ч* (г, q)- волновая функция системы в целом, причем г обозначает
радиус-вектор одной частицы, a q - совокупность координат всех остальных
частиц: по последним производится интегрирование. Фурье-компоненты
матрицы плотности совпадают с выражением
p(r) = -^G(* = -0,r),
(7,18)
-у- = 2АГр (0) = -2iG (t = -0, г = 0) (7,19)
N (р) = N ^ р (r1; r2)e~ip (ri-r2> d3 (х1 - х2) = - i ^ G(t, г) j<=_/-
lprd3x.
(7,20)
Р (Гь Г2) = ^ Ч'* (г2> (?) Чг (n, q) dq,
откуда и следует ее связь с распределением частиц по импульсам.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ФУНКЦИЯ ГРИНА
49
В дальнейшем мы будем обычно иметь дело с функцией Грина в импульсном
представлении, определенной как компонента фурье-разложения функции G(t,
г) по t и г:
G (*, г) = j G (со, р) ё <*-"*> t (7,21)
G (со, р) = J G (t, г) e~l (pT~at) dtd3x. (7,22)
Распределение частиц по импульсам выражается через эту функцию формулой
00
tf(p) = -U_im j G(co, (7,23)
- 00
получающейся подстановкой (7,21) в (7,20). Ее нормировка выражается
формулой
-2^Ит G (со, р)е-*"*^= (7,24)
представляющей собой условие (7,19), выраженное в импульсном
представлении. Таким образом, распределение N (р) автоматически правильно
нормировано:
2Ww"-r-
Отметим, что предел, в котором берутся интегралы (7,23-24), эквивалентен
определенному правилу обхода в плоскости комплексной переменной со.
Наличие множителя е~ш с КО позволяет замкнуть путь интегрирования
(вещественная ось) бесконечно удаленной полуокружностью в верхней
полуплоскости со, так что интеграл определяется вычетами функции G(co, р)
в ее полюсах, лежащих в этой полуплоскости.
§ 8. Определение энергетического спектра по функции Грина
Для микроскопически однородной системы легко определить зависимость от
времени и координат матричных элементов гейзенберговского ^-оператора по
отношению к стационарным состояниям с определенными значениями энергии и
импульса.
Зависимость от времени дается обычным экспоненциальным множителем
г) | т> =еШпт* <,п | фа (г) | ту, (8,1)
но поскольку гейзенберговский ^-оператор определен с помощью
гамильтониана Н', то
= Е'п-Е'т = Еп-Ет-{х {Nn - Nm).
50 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О [ГЛ. II
Согласно общим свойствам ^-операторов, оператор Y уменьшает (а Ф+
увеличивает) число частиц в системе на 1. Поэтому в матричном элементе
(8,1) Nn = Nm - 1, так что
<*>nm = En(N)-?m(W+l) + ^, (8,2)
где в виде аргументов указаны числа частиц в соответствующих состояниях.
Для определения координатной зависимости замечаем, что в силу
однородности системы матричные элементы ее ^-операторов не могут
измениться при смещении на любое расстояние г относительно системы. Это,
