Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
интегрирование по dN приведет к выражению (6,13) для энергии основного
состояния.
Формула (6,13) представляет собой первые члены разложения энергии газа по
степеням "параметра газовости" т) = ppalfl~ ~ a(NIV)1!*. Аналогичными,
хотя и значительно более громоздкими вычислениями можно было бы получить
еще и несколько следующих членов разложения. Дело в том, что в случае
ферми-газа тройные столкновения вносят вклад в энергию лишь в
сравнительно далеком приближении. Из трех сталкивающихся частиц по
крайней мере две имеют одинаковую проекцию спина; при этом координатная
волновая функция системы должна быть антисимметричной по отношению к этим
двум частицам. Это значит, что орбитальный момент относительного движения
этих частиц равен по крайней мере 1 (p-состояние). Соответствующая
волновая функция содержит лишнюю (по сравнению с волновой функцией s-
состояния) степень р/К (см. III § 33), и, следовательно, вероятность
такого столкновения содержит лишнее рг, т. е. ослабляется в ~ (ра!%)2 ~
rf раз по сравнению с вероятностью "лобового" столкновения частиц,
неподчиняющихся принципу Паули. В результате тройные столкновения дадут
вклад в энергию лишь в членах, содержащих объем как 1/-2К-2/3. Другими
словами, через характеристики одних только парных столкновений выражаются
все члены разложения энергии вплоть до членов порядка
включительно (т. е. еще три члена, следующих за выписанными в (6,13)).
Однако в числе характеристик парных столкновений будет фигурировать не
только амплитуда s-рассеяния для медленных столкновений (как в (6,13)),
но и ее производные по энергии, а также амплитуда р-рассеяния.
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т=О
§ 7. Функция Грина макроскопической системы
Примененный в предыдущем параграфе метод становится громоздким и
практически неприменимым в высших приближениях теории возмущений. Этот
недостаток тем более существен, что в реальных физических задачах
взаимодействие между частицами отнюдь не является слабым, так что для
выяснения различных общих свойств макроскопических систем требуется
рассмотрение бесконечных совокупностей членов ряда теории возмущений. Для
преодоления подобных трудностей существует математическая техника,
подобная той, которая применяется в квантовой теории поля.
Конкретная форма этого математического аппарата существенно зависит от
характера макроскопической системы, к которой она должна применяться.
Последующие параграфы этой главы посвящены развитию аппарата для ферми-
жидкости при абсолютном нуле температур *). При этом изложение имеет
своей целью не только фактическое применение метода к данному объекту, но
и демонстрацию того, каким образом вообще строится такой аппарат.
Исходным материалом в нем являются вторично-квантованные г|з-операторы,
свойства которых известны из квантовой механики (см. III §§ 64, 65). Нам
сейчас понадобятся эти операторы в гейзенберговском представлении, в
котором они зависят явно от времени. Поэтому мы начнем с выяснения
некоторых свойств ^-операторов в этом представлении.
Мы будем рассматривать системы, составленные из частиц со спином 1/2.
Соответственно этому, tf-операторам должен быть приписан индекс,
указывающий значение проекции спина и пробегающий значения ±1/2; спиновые
индексы будем по-прежнему обозначать буквами греческого алфавита, а по
дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
По общему правилу (см. III § 13) оператор f (t) любой физической величины
в гейзенберговском представлении выражается через не зависящий от времени
(шредингеровский) оператор /
х) Систематическое построение этого аппарата принадлежит В. М. Галицкому
я А. Б. Миедалу (1958).
44 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Г = 0 [гл. II
той же величины согласно1)
где Н-гамильтониан системы.
Здесь, однако, будет целесообразно несколько изменить это определение.
Дело в том, что в квантовой статистике удобнее рассматривать состояния
системы не при заданном числе частиц N в ней, а при-заданном химическом
потенциале (х. При этом основное состояние системы, в котором она
находится при Т = О, можно определить как состояние с наименьшим
собственным значением оператора
Я' = Я- v-N (7,1)
л
(а не Н, как при заданном N). Действительно, вероятность системе
находиться (при заданном значении ^) в состоянии с энергией Еп и числом
частиц Nn:
шсчэехр ?ц^^==ехр^-y-'j
(см. V (35,1)); Е'п-собственные значения оператора Н\ и мы видим, что при
7' = О остается только состояние с наименьшим Е'п 2).
Таким образом, определим гейзенберговские ^-операторы формулами
Фа (t, г) = eiTrt^a (г) е-iRu,
Мы будем обозначать гейзенберговские г]>операторы заглавной буквой Ф1, а
шредингеровские-строчной буквой -ф.
Шредингеровские ^-операторы удовлетворяют известным правилам коммутации.
Коммутаторы же гейзенберговских операторов, взятых в различные моменты
времени t и t', нельзя вычислить в общем виде. Однако при t - t' их
правила коммутации совпадают с правилами для шредингеровских операторов.
