Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
= (9,2)
{иа - спиновая амплитуда, нормированная условием иаи*а-1); такой выбор
функций ippa не имеет отношения к реальному взаимодействию частиц в
системе.
Но для системы невзаимодействующих частиц может быть записан в явном виде
также и гейзенберговский гр-оператор. В этом случае переход от
шредингеровского к гейзенберговскому представлению сводится к введению в
каждый член суммы в (9,1) соответствующего временного множителя
ФаУ, г) =?ара'|'ра(г)ехр [-t (-gj-|*) *] • (9,3)
ра
В этом легко убедиться, заметив, что матричные элементы гейзенберговского
оператора для всякого перехода i-"-/должны содержать множители ехр[-
i(E't-где Е\, E'f-энергии
56 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = 0 [гл. II
начального и конечного состояний (в данном случае это-собственные
значения гамильтониана Й'=Н-\iN). Для перехода с уменьшением числа частиц
в состоянии ра на 1 разность Е\-E'f = p2/2m-(г, так что указанное
требование выполнено.
Однако, вместо прямого вычисления функции Грина с помощью (9,3) по
определению (7,10), удобнее свести сначала это определение к
эквивалентному ему дифференциальному уравнению. Для этого
продифференцируем функцию Gap(X1 - Х2) по t1. При этом надо учесть, что в
точке t1 = t2 эта функция разрывна. Действительно, согласно определению
(7,10), скачок функции
[Ga(?] - Gap |#1= ti + о Gap j<,= t2-0 -
= -i<?a(tlt ri)$p+(/i, r2) + ^(^, r2)?"(^, r,)>
или в силу (7,3)l)
¦ [Gap] = - t'6apS (rj- r2). (9,4)
Наличие скачка приводит при дифференцировании к появлению члена [Gap] 6
(tl -12)- Поэтому
~ Gap = -ЦТ dV^l) % (X2))-i6a&6 (Г1-Га) б ((,-LJ. (9,5)
Для системы свободных частиц гейзенберговский ^-оператор удовлетворяет
уравнению
(ср.7,8)). Подставив эту производную в (9,5) и снова воспользовавшись
определением (7,10), получим уравнение для функции Грина
- (1ж+ш+^)0<0>((' г) = 6^) б<г)' М
где уже положено G(tm)|з = 6"pGl0), а индекс (0) у G указывает отсутствие
взаимодействия между частицами.
Преобразуем это уравнение по Фурье:
((r) - -Цг+11) G° ((r). Р)= L
Определяя отсюда гриновскую функцию, надо добавить к со бесконечно малую
мнимую часть таким образом, чтобы мнимая
х) Подчеркнем, что величина этого скачка вообще не зависит от взаимО'
действия частиц!
§ 10J РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТИЦ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ ПО ИМПУЛЬСАМ
57
часть G имела правильный знак (в соответствии с (8,14)):
G(">(co, р)= |ю-|^ + H + iO-signcoj (9,7)
Полюс этого выражения лежит при со + ц = е (р) = р212т в соответствии с
тем, что в идеальном газе квазичастицы совпадают с реальными частицами.
Химический потенциал идеального ферми-газа jo, = рр/2т. Для слабо
возбужденных состояний р близко к рР, так что можно заменить р2/2т "ja, +
uf(p-рР) (где vF-pP/m) и для таких состояний переписать функцию Грина в
виде
G<0)(со, р) = [со -vF(p - p^ + iO-signco]'1. (9,8)
При всяких интегрированиях с участием функции G(0) наличие бесконечно
малой мнимой части в ее знаменателе существенно только вблизи полюса,
когда со mvF(p-pF). В этом смысле sign со в (9,7) можно заменить на
sign(p-рР) и написать G(0) в виде
G(0) (со, p) = [a-p*/2m + \i + i0-sign(p-pp)]-1. (9,9)
Такая замена существенна в том отношении, что в виде (9,9) G<0)
оказывается единой аналитической во всей плоскости функцией комплексной
переменной со и для вычисления интегралов можно пользоваться методами
теории аналитических функций.
Так, для вычисления интеграла (7,23) (распределение частиц по импульсам)
при отличном от нуля отрицательном t замыкаем путь интегрирования
(вещественная ось со) бесконечно удаленной полуокружностью в верхней
полуплоскости (после этого можно положить t = 0). Интеграл
^ ^ 2п J со - p2/2m + (J.+ t'0-sign (р - рр)
определяется теперь вычетом подынтегрального выражения в полюсе,
находящемся в верхней полуплоскости. При р > pF такой полюс отсутствует,
так что N (р) = 0. Если же р < рр, то находим N (р) = 1 -как и должно
было быть для основного состояния идеального ферми-газа.
§ 10. Распределение частиц ферми-жидкости по импульсам
Гриновская функция ферми-жидкости неможетбыть, конечно, вычислена в общем
виде, как это было сделано для ферми-газа. Но утверждение о том, что
ферми-жидкость обладает спектром описанного в § 1 типа означает, что ее
функция Грина имеет полюс при
со = е(р ) - \ittvF(p - pF), Vp = pp/m*. (10,1)
58
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Г = 0 [гл. 15
Другими словами, она может быть представлена в виде
Р)= ш -V(P-Pf) + "0-sign с ¦ + g(fl)' Р). ^10>2)
где g'(o), р)-функция, конечная в точке (10,1). Как уже было отмечено в
связи с (8,17), коэффициент Z (вычет функции G в полюсе) положителен.
Из выражения (10,2) можно сделать интересное заключение о характере
распределения частиц жидкости (не квазичастиц!)
по импульсам. Именно вычислим раз-N(p) ность значений функции
распределения
N (р) (фактически зависящей лишь от абсолютной величины р) по обе стороны
. поверхности ферми-сферы, т. е. предел разности
Sb_____ N(pF-q)-N(pP+q)
Pf ^ при ?= +0.
