Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц Е.М. -> "Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния " -> 17

Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния — Москва, 2000. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayafizika2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 172 >> Следующая

Так, из правила
Фа (г) Фр (г') + tp (г') фа (г) = Sap6 (г-Г#)
*) С целью упрощения записи формул мы будем широко пользоваться системой
единиц, в которой квантовая постоянная % = 1 (так что импульс имеет
размерность см-1, а энергия сек-1). Для перехода от этой системы к
обычным единицам все импульсы р и энергии Е в формулах надо заменить на
р/% и Ej%. Такие единицы используются, в частности, в этой главе.
2) Мы будем называть оператор как и Н, гамильтонианом,
§ 7] ФУНКЦИЯ ГРИНА МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 45
следует аналогичное правило
Va(t, г)^(/, г') +Щ (t, г')Wa(t, г) =
= ^ (& (г) ^ (г') + % (Г') Ъа (г)) е- "?'* = 6а|36 (г-г'). (7,3)
Таким же образом:
va(t,r)%(t,r') + %(t, r')4a(t, r) = 0,
Y+ (/, г) ^ (/, г') + (/, г') П (/, г) = 0.
Дифференцируя определение (7,2) по времени, найдем, что гейзенберговский
1|)-оператор удовлетворяет уравнению
-i^a(t,r) = H'Va(t, гг)Я' (7,5)
(ср. III (13,7)).
Гейзенберговское и шредингеровское представления тождественны для
оператора всякой сохраняющейся величины (т. е. оператора, коммутативного
с гамильтонианом). Это относится, в частности, к самому гамильтониану, а
также к оператору числа частиц - тоже, разумеется, сохраняющейся
величины. Выражения этих операторов через шредингеровские или
гейзенберговские ^-операторы одинаковы. Так, оператор числа частиц
Л" = S & '(г) (г) d3x = 5 Ф+ (/, г) Va (t, г) d3x. (7,6)
Гамильтониан же системы взаимодействующих частиц имеет вид Н' =H'm + Vw +
V(tm)+ ...
= г)ДгМ*> r)d*x-iiN,
= T)U^(r)Wa(t, r)d*x, (7,7)
t/(2> - у J r) У+ (/, r') f/<"> (r-r') Wa (t, r') % (t, r)d*xd*x'.
Здесь H'm - гамильтониан системы свободных частиц; У(1)-оператор их
взаимодействия с внешним полем Ua) (г); К<2)-оператор парного
взаимодействия частиц, причем ?/(2)(г-г')-энергия взаимодействия двух
частиц; опущенные члены-тройные и т. д. взаимодействия (ср. 111 (64,25)).
Для простоты предполагаем все взаимодействия не зависящими от спинов
частиц.
Коммутатор Н' и в (7,5) вычисляется с помощью правил (7,3-4); возникающие
при этом 6-функции устраняются интегрированием. В результате получим
"уравнение Шредингера" для
46
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т - 0 [гл. II
Г) в виде
i4r%(t, г) = (-~А-Ц + ?/(1'("¦))**(/. г) +
dt " v ' 1 ~ V 2m
r')U"'(T-r')4i(t,r')d*x'.%(t,r) + ... (7,8)
+1'
Основную роль в излагаемом методе цграет понятие функции Грина
макроскопической системы. Она определяется следующим выражениемJ):
Gaр(Х1, X2) = -i<Ti(I,)^(I2)>. (7,9)
Здесь и ниже X обозначает, для краткости, совокупность момента времени t
и радиус-вектора точки г. Угловые скобки <.. .> означают усреднение по
основному состоянию системы (вместо более громоздкого символа
диагонального матричного элемента <0| ... |0". Символ же Т есть знак
хронологического произведения: следующие за ним операторы должны быть
расположены справа налево в порядке возрастания времен tu tz. При этом в
случае фермионов перестановка пары т|>операторов (по сравнению с их
расположением в первоначальной записи произведения) должна сопровождаться
изменением знака произведения. В явном виде это значит, что
( - t <$"(*!)тг (*,)>,'
Gap(*i, *.) = { - ~ (7,10)
Отметим некоторые очевидные свойства функции Грина. Если система не
ферромагнитна и не находится во внешнем поле, то спиновая зависимость
функции Грина сводится к единичной матрице:
Сар(*1, Xt) = 6afp(Xlt Хг) (7,11)
(всякая другая форма зависимости выделяла бы избранное направление в
пространстве - ось z квантования спина)2). В силу однородности времени
моменты и t2 входят в функцию Грина лишь в виде разности t = ^ -12. Если,
сверх того, система макроскопически однородна в пространстве, то лишь в
виде разности
х) Это определение аналогично определению точных функций Грина (про-
пагаторов) в квантовой электродинамике (ср. IV §§ 100, 102).
2) Это утверждение требует пояснения. Спиновые компоненты Фа
составляют контравариантный спинор первого ранга (и в этом смысле более
правильным было бы обозначение Фа с индексом а сверху). Компоненты же
составляют ковариантный спинор. Поэтому Gap есть смешанный спинор второго
ранга. Единичным же смешанным спинором второго ранга является именно 6ag.
§ 7] ФУНКЦИЯ ГРИНА МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 47
г = г1-г2 входят также и координаты двух точек. Другими словами, в этом
случае
Ga"(Xu X2) = 8aPG(X), Х = Хг-Х2. (7,12)
Подчеркнем, что микроскопическая однородность означает, что тело
предполагается однородным не только по своей средней (макроскопической)
плотности, но и по плотности вероятности различных (микроскопических)
положений ее частиц в пространстве. Именно таковы жидкости и газы (но не
твердые кристаллы). В силу их изотропии G(t,r) = G(t, -г). В этой связи
подчеркнем лишний раз, что в то же время функция G(t, г), по самому
своему определению, отнюдь не четна по переменной t. В этом смысле
порядок и t2 в разности t - t1 -1\ существен.
Координатная матрица плотности частицы в системе определяется как среднее
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed