Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц Е.М. -> "Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния " -> 14

Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния — Москва, 2000. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayafizika2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 172 >> Следующая

Таким образом, для перехода от первого ко второму приближению надо заме-
нить U0 на
L>o ] IV pi+pl-Pi2-Ра2 -1 j* ие-ьпЦ&х р!
(суммирование производится при заданных pf, р2 по p^^pi, р2). Поскольку в
нашем случае импульсы частиц предполагаются малыми, то во всех
существенных членах в сумме можно заменить матричные элементы их
значениями при р = 0. Сделав
ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ
37
это, получим следующее выражение для длины рассеяния1):
^о+т! 2 , з2/% М
4л%2
v Р1 + Р 2-Pi
Pi
С той же точностью имеем отсюда
4nh2a XT' 2m
,, 4я fi2a
U о
tn
тV - pi~\-pt - Pi2 - Ръ Pi
Расходимость суммы в (6,4) (при больших р^, рз) связана с произведенной
заменой всех матричных элементов постоянными значениями и несущественна,
так как цри дальнейшем использовании этого выражения для вычисления
энергии системы все равно получится сходящееся выражение, в котором
большие импульсы не играют роли. Мы понимаем под а длину рассеяния
медленных частиц, не зависящую от их энергии. Формула же
(6,4) содержит, на первый взгляд, зависимость от импульсов рх, р2. В
действительности эта зависимость заключена лишь в мнимой части амплитуды
рассеяния (возникающей при надлежащем определении способа суммирования -
ср. III (130,9)), на которую можно не обращать внимания, поскольку нам
заранее известно, что окончательный результат будет все равно
вещественным; к этому вопросу мы еще вернемся в § 21.
В этом параграфе мы рассмотрим модель ферми-газа с оттал-кивательным
характером взаимодействия между частицами; для такого взаимодействия а >
0. Именно в этом случае газ имеет энергетический спектр описанного в §§
1, 2 фермиевского типа.
Гамильтониан системы частиц (со спином 1/2) с парным взаимодействием
менаду ними записывается в методе вторичного квантования в виде
Р 7i+ п А-Яра Яра ~Г
ра
+ Т 2 <P^ai' Р^21 U I PlKl' р2"2> (6,6)
(см. III § 64). Здесь йра и ара-операторы рождения и уничтожения
свободной частицы с импульсом р и проекцией спина а (а = ±1/2). Первый
член в (6,6) отвечает кинетической, а второй-потенциальной энергии
частиц; в последнем суммирование
х) Во всех промежуточных формулах мы пишем суммы по дискретным значениям
импульсов частиц, заключенных в конечном объеме V; при окончательном
вычислении суммирование заменяется, по общему правилу, интсг рированием
по V d3p/(2nfi)3.
38
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
производится по всем значениям импульсов и проекций спинов с соблюдением
закона сохранения импульса при столкновениях.
В соответствии с предположением о малости импульсов частиц снова заменяем
матричные элементы в (6,6) их значением при нулевых импульсах: <0^,
0а2|{У|0а1( 0а2> = UJV. Далее, замечаем, что в силу антикоммутативности
операторов aPiai, аРгаг в статистике Ферми, их произведение
антисимметрично по отношению к перестановке индексов; то'же самое
относится к произведениям ара йр'а1. В результате взаимно сокращаются все
члены во второй сумме в (6,6), содержащие пары одинаковых индексов "j, а2
(физически это связано с упомянутым уже обстоятельством, что в пределе
медленных столкновений взаимно рассеиваться могут лишь частицы с
противоположными спинами).
Таким образом, гамильтониан системы принимает вид
^ = Ц-?^р+"ара + Т S а[Ха^а^а1 + , (6,7)
ра . pip2pi
где а1+=аР1+, а'1л. = ар' и т. п., а индексы + и - здесь и
ниже стоят вместо +1/2 и -1/2.
Собственные значения этого гамильтониана вычисляются с помощью обычной
теории возмущений, причем второй член в (6,6) рассматривается как малая
поправка к первому члену. Последний уже имеет диагональный вид и его
собственные значения равны
?(0) = Е:?"р"> (6,8)
ра
где "ра-числа заполнения состояний ра1).
Поправка первого порядка дается диагональными матричными элементами
энергии .взаимодействия:
??,=-т-Е п"п*-> м
Р1Р2
где ni+ ==rtPl4. и т. п.
Для нахождения поправки второго порядка пользуемся известной формулой
теории возмущений
/7(2)_' I Vпт I2
2^ Еп~Ет '
т
Предполагая, что частицы обладают определенными значениями проекции
спина, мы тем самым предполагаем приведенной к диагональному виду та.;жс
и статистическую матрицу яар(р); функции же па(с а=±1/2 являются при этом
ее диагональными компонентами.
ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ
39
где индексы п, т нумеруют состояния невозмущеннои системы. Простое
вычисление (с использованием известных матричных элементов операторов
ара, "ра) приводит к результату
Ul V4 п1+п2- О---nl+) (l -rh~) /g JQ\
V2 */2,2 '2 '2\/о * '
• (Pi+Pi-Pi - Р-2 )/2т PlP"Pl
Структура этого выражения вполне понятна: квадрат матричного элемента
перехода р1; р2-ер*, р.^ пропорционален числам заполнения состояний рд,
р2 и числам свободных мест в состояниях р[,
Входящий в' (6,9-10) интеграл U0 должен быть выражен через реальную
физическую величину-амплитуду рассеяния -а. В членах второго порядка это
может быть сделано по (6,2), а в членах первого порядка требуется более
точная формула (6,5). Произведя эти подстановки, получим для поправки
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed