Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
только парамагнитную (спиновую) часть восприимчивости: эта часть
определяется электронами проводимости вблизи ферми-поверхности, поскольку
спины электронов в глубине распределения взаимно скомпенсированы. В
диамагнитную же (орбитальную) часть восприимчивости вносят вклад все
электроны, в том числе из глубины распределения, где понятие квазичастиц
в теории ферми-жидкости уже теряет смысл. Между тем обе части
восприимчивости, вообще говоря, одного порядка величины, а реальный
физический смысл имеет только их сумма.
Обратимся к "сильным" полям, *когда
Т^рВ<^р, (63,1)
т. е. интервалы между уровнями Ландау сравнимы с температурой, но все еще
малы по сравнению с химическим потенциалом. В этом случае пара- и
диамагнитная части намагниченности вообще не могут быть разделены, но
здесь ситуация меняется в том отношении, что в намагниченности металла
появляется осцилляционная зависимость от напряженности поля (эффект де
Гааза-ван Альфена)2). Монотонная часть намагниченности и здесь зависит от
всех электронов в металле и не может быть вычислена в рамках теория
ферми-жидкости. Осцил-
*) Фактически кристаллические решетки всех металлов обладают центром
инверсии.
2) Ср. V § 60, где этот эффект рассматривался для идеального
электронного, газа.
308
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
лирующая же часть намагниченности определяется, как мы увидим, лишь
электронами проводимости в окрестности ферми-поверхности и может быть
рассмотрена в общем виде (И,rNi. Лиф-шиц, А. М. Косевич, 1955). Именно
эта часть и будет интересовать нас здесь.
Осцилляционная зависимость намагниченности от поля является следствием
квантования уровней энергии орбитального движения электронов. Но
квантованию подвергаются только состояния, отвечающие движению электронов
по замкнутым (в k-пространстве) траекториям. Поэтому вклад в осцилляцион-
ную часть термодинамических величин возникает только от электронов
проводимости на замкнутых сечениях изоэнергети-ческих поверхностей
плоскостями, перпендикулярными заданному направлению поля. Мы будем
считать, что на этих сечениях выполняется условие квазиклассичности, т.
е. что определяемые равенством (62,8) числа п велики:
%cS!\e\B^\. (63,2)
Для типичных ферми-поверхностей в металлах линейные размеры сечений ~1
/а, так что S~a~2, и тогда условие (63,2) заведомо выполняется (ср.
примечание на стр. 279).
Квазиклассические уровни даются (с учетом спина) выражением (62,9), где
е"(кг) - решения уравнения (62,8); каждому уровню отвечает число
состояний, даваемое формулой (58,10). Поэтому статистическая сумма,
определяющая термодинамический потенциал Q (функция ц, 7 к объема V
системы), имеет вид
fi="T-S??iSln\'+expt:!^?->}'JS'' (63,3)
Индекс s нумерует отдельные листы изоэнергетической поверхности; этот
индекс и знак суммирования по нему ниже для краткости "опускаем.
Интегрирование по dk2 производится по такому интервалу, чтобы в него были
включены все различные (т. е. за исключением их периодических повторений)
сечения всех листов изоэнергетических поверхностей.
Прежде всего выделим из Q осциллирующую с полем часть (обозначим ее Q),
преобразовав сумму (63,3) с помощью формулы Пуассона1):
во CD CD CD
Y F (°) + E F (n) = f F wdx + ¦2 Re E fF we2lUlx dx• (63-4)
л=1 s' 1=1 J
x) См. V § 60. Тот факт, что в (63,4) член суммы F (0) стоит С
коэффициентом 1/2, неважен, так как в сумме (63,3) все равно существенны
лишь члены с большими п, *
§ 63]
ЭФФЕКТ ДЕ ГААЗА------ВАН АЛЬФЕНА
309
Первый член этой формулы, примененной к (63,3), дает неосциллирующий
вклад в ?2; опустив его, пишем
(ср. (62,8)) и перейдем от интегрирования по dn в (63,6) к интегрированию
по de:
выбор нижнего предела интегрирования по de (условно положенного равным
нулю) безразличен, так как в интеграле все равно будет существенна лишь
окрестность значения e = |ia.
Поскольку функция n(e,kz) велика, экспоненциальный множитель в
подынтегральном выражении в (63,8) -быстро осциллирующая функция kz. Эти
осцилляции погашают интеграл по dkz, и потому основной вклад в него
возникает от тех областей переменной kz, в которых функция п(е, kz)
меняется наиболее медленно (так что и осцилляции наиболее медленны).
Другими словами, основной вклад в интеграл дают области вблизи точек
экстремумов п как функции от kz (при каждом заданном е). Пусть &гех (е) -
одна из таких точек; вблизи нее вычисляем интеграл методом перевала: в
показателе экспоненты пишем
а в неэкспоненциальных множителях берем их значение при kz - kzex. В
результате найдем, что каждая из экстремальных точек дает в интеграл
вклад
(63,5)
где Iia-осциллирующая часть интеграла
he = J dn J In 11 -f exp --~~ | e2niln dkz
(63,6)
0
и введено также обозначение jj,a = fx - сф?.в.
Для дальнейшего преобразования введем функцию
, , ч _ ctiS (е, kz) 1
"4е, "J- 2я| ej В 2
(63,7)
СО
h = j j In jl-f exp^^j e9-ailn~^dkzde\ (63,8)
0
П
310
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
