Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
294
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ ЕЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
При перестановке а и а' показатель степени в множителе со (а, а') меняет
знак; поэтому операторы Тл и 7V, вообще говоря, не коммутативны:
Га Га' = ТЛ'Та exp (- ih [а а']). (60,4)
Таким образом, произведение двух операторов Та и Та> отличается, вообще
говоря, фазовым множителем от оператора Та+а'. По математической
терминологии это означает, что операторы Га осуществляют не обычное, а
проективное представление группы трансляций; базисом этих представлений
являются волновые функции стационарных состояний блоховского электрона в
магнитном поле*¦). Классификация уровней энергии должна производиться,
следовательно, по неприводимым проективным представлениям группы
трансляций, подобно тому как в отсутствие поля она производится по
неприводимым обычным представлениям этой группы.
Напомним в этой связи, что группа трансляций - абелева (все ее элементы
коммутативны), а потому все ее неприводимые обычные представления
одномерны. Функция о]з базиса каждого такого представления при трансляции
лишь умножается на некоторый фазовый множитель, причем для двух
последовательных трансляций этот множитель должен быть равен произведению
множителей для каждой трансляции в отдельности. Это значит, что
Та'ф = е'ка 1]з,
где к-постоянный вектор; этот вектор (квазиимпульс электрона) оказывается
параметром, классифицирующим неприводимые представления.
Полная классификация неприводимых проективных представлений группы
трансляции может быть произведена (Е. Brown, 1964; J. Zak, 1964) в
случае, когда магнитное поле удовлетворяет условию
Ь = 4я-^, (60,5)
где р и q-любые два взаимно простых целых числа; а3 -один из трех
произвольно выбранных основных периодов решетки
J) С понятием о проективных представлениях групп мы встречались уже в V §
134. Напомним, что проективными представлениями группы G называются
вообще представления, осуществляемые операторами G, соотношения между
которыми совпадают с соотношениями между соответствующими элементами
группы О лишь с точностью до фазовых множителей: если G1G2 = G3, то для
операторов имеем G1G2 = co12G3, где со12 должно быть равно единице только
по модулю.
§ 60] СИММЕТРИЯ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
295
aj, а2, а3; и = [а1а2]а3-объем элементарной ячейки решетки1). Другими
словами, магнитное поле должно быть направлено вдоль какого-либо периода
решетки, а величина /го/4яа3 должна быть рациональным числом. Умножив
равенство (60,5) на [а1а2], можно представить это условие также и в виде
Н[а1а2] = 4яр/<7, (60,6)
Для классификации неприводимых проективных представлений группы
трансляций существенно, что из этой группы можно выделить подгруппу
(будем называть ее магнитной), по отношению к которой представление
является не проективным, а обычным. При соблюдении условия (60,6) такой
подгруппой является совокупность трансляций вида
&т - niai + п%Яйг + пзаз (60,7)
с целочисленными коэффициентами nlt ti2, п3. Действительно, когда вектор
h направлен вдоль а3 и удовлетворяет условию
(60,6), для всех трансляций такого вида показатель экспоненты в (60,3)
обращается в нуль или в кратное от 2я, так что все множители со (а, а') =
12). Совокупность трансляций (60,7) образует решетку с основными
периодами alf q&2, а3 (назовем ее магнитной). Магнитная же обратная
решетка соответственно имеет периоды blt bjq, b3, где bt, b2, b3 -
периоды основной обратной решетки.
Обычные неприводимые представления магнитной подгруппы, как и группы
трансляций в целом, одномерны; они характеризуются волновыми векторами
(кй'азиимпульсами) К, все неэквивалентные значения которого заключены в
одной ячейке магнитной обратной решетки.
Пусть 1|з(1>-функция базиса одного из таких представлений с
квазиимпульсом к(1) = К. Для нее
fа^'1' (г) = в'к(,>я* г|)Ш (г). (60,8)
При трансляции же на период а2 (не входящий в магнитную подгруппу)
получим из 1]з(1) функцию ^)(2) с другим квазиимпульсом. Для его
определения пишем, используя (60,4) и (60,8):
ТЛт ч,<" = ТЛаТа^(1) (г) = е^ср (- ih [ama,]) Т(г) = _____________=exp {-
"ae[a2h] + iamk(1>} f32(r)
Напомним, что в качестве основных можно выбрать наименьшие периоды
решетки в любых трех некомпланарных кристаллических направлениях (т. е.
направлениях, проходящих через бесконечное множество узлов решетки).
Объем элементарной ячейки от выбора основных периодов не зависит.
2) Выбор магнитной подгруппы, вообще говоря, неоднозначен: вместо (60,7)
можно выбрать любую совокупность трансляций вида s.m = ni4iSLiJrn2R2a-
2Jrnaa-at где qlt q2 -целые числа такие, что q\q^ = q.
296
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
или окончательно
Тат г|><2> (г)=*ел<,,в"1б<й (г),
где
k(2) = k<i)_[a2h] = K-2^-bi
(в последнем равенстве подставлено (60,5) и введен период обратной
решетки 2л [а2а3]/и = Ьх). Далее надо различать случаи нечетных и четных
значений q1).
Пусть q-нечетное число. Повторив трансляцию на а2 еще q-2 раз, получим
всего q различных функций с квазиимпульсами
