Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности мало, оператор L при малых (c) эрмитов (с точностью до членов
порядка со).
Для перехода к случаю наличия слабого внешнего магнитного поля надо
заметить, что при калибровочном преобразовании векторного потенциала ^-
операторы преобразуются как волновые функции (ср. (44,3-4)), а потому
гриновска*я функция Gap (со; г1; г2) преобразуется как произведение 1])-
функций ¦ф (rt) 1]з* (г2). Это значит, что и функция %(г) в (62,6) должна
преобразовываться как обычная ^-функция. Но, проследив за произведенными
в § 56 рассуждениями, легко обнаружить, что в них использованы только
периодичность решетки кристалла, общие свойства калибровочного
преобразования и тот факт, что энергетический спектр определяется по
собственным значениям некоторого гамильтониана; роль последнего играет в
данном случае оператор L в (62,6)2). Поэтому ясно, что и результат^-
правило перехода от спектра в отсутствие поля к спектру при наличии
слабого поля-будет тем же: новый спектр определяется по собственным
значениям гамильтониана
e(K_EA(ri)' = <62'7>
Для микроскопически однородной ферми-жидкости это уравнение в импульсном
представлении сводится к уравнению (14,13)
со + ц=е<°> (р) + 2 (со, р).
2) Может показаться существенным отличием в этой связи, что в (62,6)
оператор L сам зависит от ш. В действительности это означает лишь неявный
способ записи гамильтониана. При малых со (вблизи ферми-поверхности)
можно перейти и к явной записи, разложив L х ?0 + со^ и умножив затем
уравнение L0x = co(l-Li) X слева на оператор (1-Li)-1t
306 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. VI
где е (к)-спектр в отсутствие поля. Разумеется, смысл самой функции е (к)
теперь отличается от ее смысла в (56,7) - в ней учитывается коллективное
взаимодействие всех электронов в системе.
Далее, поскольку проведенное в §§ 57, 58 рассмотрение ква-зиклассического
случая целиком основывалось на существовании гамильтониана вида (62,7),
то и эти результаты непосредственно переносятся на электронную жидкость.
При этом, однако, возникает вопрос о том, что именно следует понимать под
напряженностью поля, действующего на электрон проводимости (а тем самым -
и под векторным потенциалом А). Строго говоря, это должно быть точное
микроскопическое значение поля, создаваемого в данной точке г всеми
электронами (и внешним полем). Но в квазиклассическом случае характерные
размеры гн области, в которой происходит взаимодействие ("ларморов радиус
орбит"), велики по сравнению с порядком величины межэлектронных
расстояний (совпадающим с постоянной решетки а). Это обстоятельство
приводит к автоматическому усреднению микроскопического поля.
Происхождение этого усреднения можно пояснить следующими рассуждениями.
Представим микроскопическую напряженность в виде суммы ее среднего
значения (которое, по принятой в макроскопической электродинамике
терминологии, есть магнитная индукция В) и быстро меняющейся части Н.
Векторный потенциал, отвечающий однородному полю В, возрастает на всем
протяжении размеров орбиты, принимая характерные значения ~Вгн- Потенциал
же, отвечающий осциллирующему на расстояниях ~а полю Н, не возрастает
систематически и набирает лишь значения ~Ва, которыми можно пренебречь по
сравнению с Вги-Между тем, как было объяснено в § 56, именно потенциал
поля определяет квантование движения электронов. Таким образом, мы
приходим к выводу, что достаточно учитывать лишь потенциал А однородной
индукции В = rot А, которая и будет играть роль действующего на электрон
поля (D. Shoenberg, 1962). Мы увидим ниже (конец § 63), что это
обстоятельство может привести к некоторым новым явлениям в намагничении
металлов.
Таким образом, правило квазиклассического квантования
(58,7) для электронной жидкости в металле записывается как
5(8,^) = 2-^Ifi(n + I), (62,8)
где теперь 5(е, &г) - площадь сечения истинных изоэнергетиче-ских
поверхностей электронов проводимости металла (близких к его ферми-
поверхности).
§ 63]
ЭФФЕКТ ДЕ ГААЗА - ВАН АЛЬФЕНА
307
Как и в задаче об одном электроне в решетке с центром инверсии1), учет
спина электронов проводимости приводит к расщеплению уровней в магнитном
поле на две компоненты:
eno(kz) = en(kz) + o№(kz)B, а = ±1. (62,9)
Величина | (kz) представляет собой результат усреднения некоторой функции
?(к) по квазиклассической траектории. При этом, с достаточной точностью,
все траектории можно считать лежащими на самой ферми-поверхности, так что
результат усреднения зависит только от kz. Подчеркнем, что для
электронной ферми-жидкости отличие величины ? (kz) от единицы (ее
значения для свободных электронов) связано не только со спин-орбитальным
взаимодейстием, но и с обменным взаимодействием электронов друг с другом.
§ 63. Эффект де Гааза - ван Альфена
Магнитная восприимчивость металла в слабых магнитных полях (|3В<<с.Т, р-
магнетон Бора, В-магнитная индукция) не может быть вычислена в общем
виде. Дело в том, что в рамках теории ферми-жидкости можно рассматривать
