Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
различной индукцией-вполне аналогично разбиению сверхпроводника в
промежуточном состоянии на нормальные и сверхпроводящие слои (J. Я.
Condon, 1966). Внешнее поле § совпадает в этом случае со значением
магнитной индукции, усредненным по всем слоям. Так, в интервале Ba<_S><Bd
пластинка разбивается на слои с индукциями Ва и Ва и", по мере
возрастания объем вторых возрастает за счет объема первых.
§ 64. Электрон-фононное взаимодействие
До сих пор мы рассматривали электроны проводимости в кристалле,
отвлекаясь от их взаимодействия с колебаниями решетки, т. е. с фононами.
Это взаимодействие выражает тот факт, что деформация решетки изменяет
поле, в котором движется электрон; это изменение поля называют
деформационным потенциалом.
Электрон-фононное взаимодействие играет определяющую роль в кинетических
явлениях в полупроводниках и металлах, но здесь нас будет интересовать
только качественное влияние этого взаимодействия на энергетический спектр
электронов. Для его изучения целесообразно отвлечься от усложнений,
связанных с анизотропией решетки и ее микроскопической неоднородностью.
Другими словами, рассматриваем среду как микроскопически однородную,
изотропную жидкость, соответственно чему в ней возможны лишь продольные
звуковые колебания.
В первом приближении по деформации потенциал, отвечающий такой упрощенной
модели, представим в виде
^деФ (f) = jSW (Г~П Р' (П (64>!)
!) Предполагается, что поверхностная энергия границы раздела между фазами
положительна.
316
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
где р'-переменная часть плотности среды (а р - ее постоянное равновесное
значение). Функция W (г-г') убывает на длинах порядка межатомных
расстояний а. Мы упростим выражение
(64.1) еще дальше, заметив, что для взаимодействия с фононами с
волновыми векторами k<^l/a эти расстояния можно считать равными нулю, т.
е. положить W = ш6(г-г'), где w-постоянная. Тогда ?/деф = wp' (г)/р. В
квантовой теории, в представлении вторичного квантования, этот потенциал
записывается как гамильтониан электрон-фононного взаимодействия
T)p'(t,T)$a(t,T)d*x, (64,2)
где операторы Ф, Ф+ относятся к электронам, а р'- гейзенберговский
оператор плотности, описывающий фононное поле; для свободных (не
взаимодействующих с электронами) фононов он дается формулой (24,10).
В математическом аппарате гриновских функций в применении к электрон-
фононному взаимодействию появляется наряду с гриновской функцией
электронов G еще и фононная гриновская функция, определяемая как
D (Xit X,) ^ D (Х,-Х2) = - i <Тр' (Хх) р' (Х2)>, (64,3)
причем хронологическое произведение раскрывается по правилу
(31.2), отвечающему случаю бозонов. Для свободных фононов гриновская
функция в импульсном представлении
Dw(со, к) = | ш_uk + ю - шuk_i(j | = + ю (64,4)
(см. задачу к § 31; в промежуточных формулах полагаем Й=1).
Рассматривая электрон-фононное взаимодействие как малое возмущение, можно
построить основанную на операторе (64,2) диаграммную технику подобно
тому, как это было сделано в § 13 для парного взаимодействия фермионов.
Не повторяя заново всех рассуждений, сформулируем получающиеся правила
составления диаграмм (в импульсном представлении)1).
Основными элементами диаграмм являются электронные (сплошные) и фононные
(пунктирные) линии, каждой из которых приписывается определенный "4-
импульс". Электронной линии с 4-импульсом Р ставится в соответствие
множитель /GJJ'p = = idapG(m(P)-гриновская функция свободных электронов.
Фонон-
*) Структура выражения (64,2) для оператора электрон-фононного
взаимодействия аналогична структуре оператора электрон-фотонного
взаимодейстия в квантовой электродинамике. В связи с этим аналогичны и
правила диаграммной техники в обоих случаях.
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
317
ной линии с 4-импульсом К сопоставляется множитель tDm(K)- гриновская
функция свободных фононов. В каждой вершинной точке диаграммы сходятся
две сплошные и одна пунктирная линии; такой точке дополнительно
сопоставляется множитель - iw/p.
Так, -первая поправка к электронной гриновской функции изображается
диаграммой1)
JL
Р----О----------Р - (64,5)
Р-И
которой отвечает аналитическое выражение
i&G (Р) = [G<°> (Р)р J G'°> (Р-К) Dl0)(K) Ц . (64,6)
Первая поправка к фононной гриновской функции изображается диаграммой
р
Т-О 7 (64'7>
р-к
или в аналитическом виде
i8D (К) = 2 [D'"> (/С)]2 J (Р) G'" (P-К) щг (64,8)
(коэффициент 2 возникает от свертывания спиновых множителей: барбра -2;
учтен также множитель -1, связанный с наличием одной замкнутой фермионной
петли-ср. § 13).
Покажем, что электрон-фононное взаимодействие в металле приводит к
появлению "эффективного притяжения" Между электронами вблизи ферми-
поверхности. Оно может быть описано наглядно как результат испускания
виртуального фонона одним и его поглощения другим электроном (J. Bardeen,
1950; Я. Froh-lich, 1950).
Диаграмма с замкнутой на себя электронной линией (подобная диаграмме
(13,13а)) отсутствует ввиду того, что D(0>(0) = 0. При этом
