Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
кш = К, к(2) = К-2-у bj........k<g> = K - 2p(q~1)b1. (60,9)
Вычитанием надлежащего целого кратного вектора Ьх эти значения приводятся
(в той или иной последовательности) к значениям
k = K, K + |blf K+jbu ...K+^b,. (60,10)
Эти q функций и осуществляют ^-мерное неприводимое проективное
представление группы трансляций. Мы получим все неэквивалентные
представления, когда К пробегает значения в ячейке со сторонами bjq,
b2/q, b3 (квазиимпульсы же k(1), k(2), ... пробегают при этом значения в
ячейке со сторонами Ьх, b2/q, b,).
Пусть теперь q-четное число. Тогда в последовательности (60,9) уже (<7/2
+ 1)-е значение, равное К-pblt отличается от К лишь целым кратным
периодов обратной решетки bj. Другими словами, имеется всего <?/2
неэквивалентных значений к; они даются выражением (60,10) с <?/2 вместо
q. Таким образом, в этом случае неприводимые представления ^/2-мерны,
причем К пробегает значения в ячейке со сторонами 2bjq, b2/q, b3.
Эти результаты позволяют сформулировать следующее заключение о характере
изменения энергетического спектра электрона в решетке при наложении на
нее магнитного поля (удовлетворяющего условию (60,5)). В отсутствие поля
спектр состоит из дискретных энергетических зон, в каждой из которых
энергия 8 (к) является функцией квазиимпульса, пробегающего значения в
одной ячейке обратной решетки. При наложении поля такая
*) При q = 1 магнитная подгруппа совпадает е полной группой трансляций.
Таким образом, если h-целое кратное от 4па3/о, то проективные
неприводимые представления группы трансляций совпадают с обычными
неприводимыми представлениями и состояния электрона классифицируются так
же, как в отсутствие поля.
§ 611
ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР НОРМАЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ
297
зона расщепляется на q подзон, в каждой из которых все уровни энергии
вырождены с кратностью q при нечетном или ql2 при четном q. Энергия в
подзоне может быть выражена как функ--ция е(К) вектора К, пробегающего
значения в 1/^а-й (при нечетном q) или 2/<73-й (при четном q) части
ячейки обратной решетки.
Описанная картина в определенном смысле крайне чувствительна к величине и
направлению магнитного поля. Действительно, сколь угодно близко к
значению Н, удовлетворяющему условию (60,5) с некоторыми р и q, лежат
значения, удовлетворяющие такому же условию, но с гораздо большими q, так
что путем сколь угодно малого изменения поля число подзон можно сделать
сколь угодно большим. Подчеркнем, однако, что это .отнюдь не означает
такой же неустойчивости в наблюдаемых физических свойствах. Последние
определяются не столько конкретной зонной структурой, сколько
распределением числа состояний по малым, но конечным интервалам энергий;
это распределение мало меняется при малом изменении поля. Дело в том, что
сильно меняется не энергия состояний, а лишь их классификация ввиду
изменения области определения квазиимпульса.
§ 61. Электронный спектр нормальных металлов
В реальных кристаллах нормальных (несверхпроводящих) металлов электроны
образуют квантовую ферми-жидкость, относящуюся к описанному в главе I
типу. Ряд отличий возникает, однако, в связи с тем, что здесь мы имеем
дело не со "свободной" изотропной жидкостью, а с жидкостью в анизотропном
периодическом поле решетки.
Подобно тому как энергетический спектр свободной ферми-жидкости строится
аналогично спектру идеального ферми-газа, так спектр электронной ферми-
жидкости в металле строится аналогично спектру идеального "газа в
решетке". Появление квазиимпульса как сохраняющейся величины связано
только с пространственной периодичностью системы (подобно тому как
сохранение истинного импульса является следствием полной пространственной
однородности). Естественно поэтому, что перечисленные в § 55 свойства
переносятся и на характер классификации уровней в спектре электронной
жидкости в металле, причем роль частиц (электронов) переходит к
квазичастицам.
При температуре абсолютного нуля частицы идеального ферми-газа в
периодическом поле займут все нижние уровни с энергиями 8 вплоть до
некоторого граничного значения гр (совпадающего со значением химического
потенциала ц при Т=0),
298
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
определяемого условием, что число состояний с e^ef совпадает с полным
числом электронов. При этом энергетические зоны, для которых ei(k)<ef при
всех значениях к, окажутся полностью заполненными, зоны с es (к) > еР-
пустыми, а зоны, для которых уравнение
8,00 = ** (61,1)
имеет решение,- будут заполнены частично. Уравнения (61,1) определяют в
k-пространстве граничную поверхность Ферми, отделяющую (для каждой зоны)
заполненные состояния от пустых.
Аналогично, в реальном металле существует поверхность в k-пространстве,
отделяющая область заполненных (при Т - 0) состояний квазичастиц от
свободных состояний; по одну сторону этой поверхности энергии квазичастиц
е > е^, а по другую е < гР. Напомним, однако (см. § 1), что понятие
квазичастиц в ферми-жидкости имеет реальный физический смысл лишь вблизи
