Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Доказать, что множество Я [J {0) для любой подгруппы Я группы F* будет щ
подполем поля F в том и только том случае, если порядок группы F* равен t
щ
или простому числу вида 2Р - 1, где р - простое число. - Ж
2.12. Показать, что каждый элемент конечного поля Fg характеристики р,::Щ
имеет в этом поле один и только одни корень р-й степени. Я
2.13. Показать, что если Fg - конечное поле нечетной характеристики^ |||
то элемент а ? F? имеет в поле F? квадратный корень тогда и только тогда,
Я
когда а^-1^2 - 1. .,|1|
2.14. Доказать, что для данного натурального чнсла k элемент а ? F|:a|
является А-й степенью некоторого элемента из поля Ftf в том и только том
Я случае, если а^ч~- 1, где d ~ НОД (д - 1, k). Ш
•УШВИ
¦ - -
*) Некоторые авторы (например, Conway f 11) называют его логарифмом Я
Зеха (Sech). - Прим. перев. Я
2) В соответствии с соглашением в подстрочном примечании к примеру 2,52
|||
для такого ", что Ьп = -1, полагается L (п) - #. - Прим. перев. Дй
Упражнения
105
2.15. Доказать, что для любого k ? N каждый элемент поля [Г9 является Mf
степенью некоторого элемента нз этого поля в том н только том случае,
если
нод й- 1, k) = 1.
2.16. Пусть - конечное поле, к - положительный делитель числа
ц - I па - такой элемент поля Fq, что уравнение хк - а не имеет решений в
Tq. Доказать, что это уравнение имеет решение в поле [ГqTn, если число т
делится на к, и что если к - простое число, то выполняется обратное
утверждение.
2.17. Доказать, что для f ? [х] верно равенство [/ (х) ]9 =
2.18. Показать, что любой квадратный многочлен из Ff;[x] разлагается над
полем F?i на линейные множители.
sffl
2.19. Показать, что при а ? IFg и п ? N многочлен xq -х Д- па делится
на хя - х -j- а в кольце F^Ul-
2.20. Найти все автоморфизмы конечного поля.
2.21. Пусть F - некоторое поле и отображение Т: F -* F определяется
условием Т (а) - а"1 при а Ф 0 и W (а) = 0 при а = 0. Доказать, что Т
является автоморфизмом поля F тогда и только тогда, когда F состоит не
более чем нз четырех элементов.
2.22. Доказать, что натуральное число п делит число tp (рп- l), где р -
простое число, а ср- функция Эйлера. (Указание. Воспользоваться
следствием 2.19).
2.23. Пусть Fg - конечное поле характеристики р, Доказать, что много-член
f ? Fg [х] обладает свойством /' (х) = 0 в том и только том случае, если
f является /?-й степенью некоторого многочлена нз Fg [х].
2.24. Пусть F - конечное расширение конечного поля К, причем [F : /С 1 =
- т, и пусть
f (х) = х -|- ^ ^
- минимальный многочлен элемента а ? F над полем К. Доказать, что Tl>/K
(*) = -(m/dt bd_^ н nFlK(a) =
2.25. Пусть F - конечное расширение конечного поля К н а ? F. Пусть,
далее, отображение L: р ? F 1-? F является линейным оператором в поле F,
рассматриваемом как векторное пространство над /(. Доказать, что
характеристический многочлен g (х) элемента а над К совпадает с
характеристическим многочленом линейного оператора L, т. е. g (х) - det
(xi - L), где I - тождественный оператор.
2.26. Рассмотрим ту же ситуацию, что и в упр. 2.25. Доказав, что TrF^ (а)
совпадает со следом линейного оператора L (т. е. с суммой диагональных
элементов соответствующей оператору матрицы в произвольном базисе), и
Np/jy (a) = det(L).
2.27. Доказать свойства (i) и (ii) из теоремы 2.23, используя
интерпретацию Ti-Fj^ (а), полученную в упр. 2.26.
2.28. Доказать свойства (i) и (Hi) из теоремы 2.28, используя
интерпретацию NFfK (а), полученную в упр. 2.26.
2.29. Пусть F - конечное расширение конечного поля К характеристики р.
Доказать, что для всех а ? F и п ? N имеет место равенство {арП) -
~ (а)]Р •
2.30. Дать другое доказательство теоремы 2.25, рассматривая поле F как
векторное пространство иад полем К и показав, сравнивая размерности, что
йДро линейного отображения Тг^^ совпадает с множеством значений линей-
106
Гл. 2. Строение конечных полей
VC г .
N*V
ii*
т
ного оператора L в векторном пространстве F над полем К, где L (|J) -
~
для всех С F-
2.31. Дать другое доказательство необходимости условия в теореме 2.2
показав, что если а, у ? F таковы, что TrF^ (а) = 0 и Тrf/K (у) - -I,
- а + а9 + ... + а*
то элемент [F : К]
/-1
Р= s ?
? 1WW j
удовлетворяет условию - $ - а.
2.32. Пусть F - конечное расширение поля К = н а - - fl
некоторого Р С F. Доказать, что равенство а = у9 - у выполняется для у ?
тогда и только тогда, когда р - у ? К-
2.33. Пусть F - конечное расширение поля К - Fg. Доказать,
что
а ? F равенство NF,K (а) = 1 выполняется в том н только том
случае,
а = Р?"~] для некоторого {} ? F*.
т-1 . ___
2.34. Доказать, что J] jfi} - с - (х -") для всех с ? К ~ Fg,
/==о
произведение берется по всем а ? F - Fqm, удовлетворяющим ус лов
ТVFJK. fa} ~ С'
2.35. Доказать, что для любого т ? N имеет место равенство
Щ:-1
JC*
* •'V.,* S ' 1
. *
Г h
и
•гн
Х*т =
*= п (s **-<)•
ч
<\
у С А
2.36. Рассматривая поле Fqm как векторное пространство иад полем F
доказать, что для каждого линейного оператора L в этом векторном простраш
