Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
виде линейной комбинации собственных векторов dlf ...
dm с коэффициентами из F. Следовательно, коэффициенты многочлена g
принадлежат центру Z тела D. Но g (?) = 0 *). Поэтому ввиду леммы 2.12
многочлен / делит g. С другой стороны, выше было установлено, что каждое
собственное значение 1* оператора является корнем миогочлеиа /. Значит, g
= /. Тем самым показано, что [F : Z] ~ [Z (I) : Z] - deg (/) - m. Но
число тп в то же время является размерностью векторного пространства D
над полем F, поэтому размерность D иад полем Z равна пг (теорема 1.84).
Поскольку эта размерность не зависит от поля F, мы заключаем, что каждое
максимальное подполе тела D имеет одну и ту же степень над полем Z.
Придадим этому результату следующую эквивалентную форму:
2.58. Лемма. Все максимальные под пол я тела D имеют один и тот же
порядок.
Второе доказательство теоремы 2.55. Пусть D - конечное тело, a Z, F ~ Z
(!) и / С Z 1дг] те же, что и раньше. Пусть Е - произвольное максимальное
подполе тела D. Тогда по лемме 2.58 поля Е н F имеют один н тот же
порядок, скажем qt В силу леммы
т т
') Так как dtg (I) <Г' = di П (5 - ?,) <Г' = П (<W - d&dT')
т*г т
П {ь - ikj) = П &-Ь) =* °- - ПРим-
/=1
96
Гл. 2. Строение конечных полей
2.4 как Е, так и Fявляются полями разложения многочлена х* - щ иад Z. На
основании теоремы 1.91 существует изоморфизм поля Я на Е, оставляющий на
месте элементы из Z. При этом изоморфизм#} образом элемента ? является
некоторый элемент ц ? ?*, являщ щийся корнем многочлена f в поле Е, так
что Е - Z (rj). Рассмв трим теперь линейный оператор Тц в векторном
пространстве Щ над F. Так как f (г]) - 0, то многочлен f аннулирует
оператор 7У§ Но поскольку / разлагается в поле F на линейные сомножителе
существует такой корень X ? F многочлена /, который являете!! собственным
значением оператора Тц. Для соответствующего еш§ собственного вектора d ?
D мы получим тогда = Xd. ОтсюЗа} ввиду того, что F = Z (Я), получаем, что
Е* d~1F*d. Таким'Д} разом, Е* является сопряженной с F* подгруппой группы
Й1|| Для произвольного элемента с ? D* множество значешЯ многочленов из Z
[х] при х ~ с образует целостное кольцо,. кЯ торое ввиду его конечности
является полем (теорема 1.31). ПоИ тому каждый элемент группы D*
содержится в некотором подпаИ тела D, а значит, и в некотором
максимальном подполе тела Дя Выше мы доказали, что каждый элемент группы
D* принадлежав некоторой сопряженной с F* подгруппе. Число различных
соирЩ женных с F* подгрупп группы D* равно индексу нормализатвй pa N (F*)
в группе D* (теорема 1.25), а так как F* cz N (^щ то оно не превосходит
числа | D* |/| F* |. Поскольку каждая еЯ пряжеииая с F* подгруппа группы
Ь* содержит единицу тела-Я] то объединение всех сопряженных с F* подгрупп
содержит Я более ...Ш
щают конечным нолям лишь несколько страниц. Наиболее Шц ширные из таких
разделов можно найти в книгах Albert
О конечных кольцах см. McDonald 11].
Понятие конечного поля в его общем значении (т. е. когД имеются в виду не
только простые поля Fp) впервые появляется
элементов. Но за исключением случая D* = F* это число меиь |D* |. Значит,
D = F, т. е. тело D является полем.
Комментарии
§ 1. Этой главой начинается собственно теория коиечмшрр полей.
Большинство руководств по абстрактной алгебре посйр!
Berlekamp [4], Вirkhoff, Bartee 11], Carmichael [4], Dornhpflj Hohn 11],
Herstein 14], Luneburg 12], Redei ПО], ПП н vuj Ammon, Trondle [1]. Общая
теория полей подробно изложев в книгах Browkin [2], Jacobson 12], Nagata
12] и Winter [Гм
_ _ _ _ _ m м \ Г I T
в 1830 г. в статье Галуа (Galois [ 1 ]) в связи с решением сравней
Комментарии
97
по модулю р (т. е. уравнений над полем Fp) в подходящих расширениях поля
fp. К этому времени многие свойства простых конечных полей Fp были уже
установлены Ферма, Эйлером, Ла-гранжем, Лежандром и Гауссом (см. Gauss
[1]). После исходной статьи Галуа изучение "высших сравнений", как тогда
назывались уравнения над конечными полями, было продолжено в работах
Schonemann [3], Serret fi ] и Dedekind [1]. Начатки теории содержатся
также в посмертно опубликованной работе Гаусса (Gauss [4]). Изложение
этой ранней работы по конечным полям можно найти в сообщении Smith Н. J.
S. [Пив работах Serret [2], Jordan С. [2] и Borel, Drach И]. См. также
заметку Nieder-reiter [14] о ранней истории предмета. О развитии теории
конечных полей до 1915 г. см. книгу Dickson 140, ch. 8]. Впервые
современная трактовка теории конечных полей появляется у Диксона (Dickson
[7]).
Самыми важными результатами этой главы являются теоремы 2.5, 2.6 и 2.8.
Существуют разные доказательства этих теорем, и их можно найти в
упомянутых выше источниках. Заметим, что многие авторы используют для
конечного поля (или поля Галуа) порядка q обозначение GF (д). Часть,
касающаяся единственности, теоремы 2.5 впервые была доказана в общем виде
Муром (Moore [1], [2]). Другое классическое доказательство теоремы 2.5
