Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
пришеДЩ к своим последним двум доказательствам после того, как познали
_ У' J '*' flfflpj
комился с доказательством Диксона. =|§§
Первое из приводимых нами доказательств теоремы 2.55 nprfjl надлежит
Витту (Witt [1 ]). Оно одно из самых коротких и изяш4Щ ных. В последней
его части можно избежать использования комЛн
Комментарии
103
плексных чисел, воспользовавшись методами -элементарной теории чисел (см.
ЮоЬе 11 ] и Rogers К. [1])- Второе доказательство принадлежит Тейлору
(Taylor D. Е. [1]). Доказательство леммы
2.57 можно найти, например, в книге Hoffman, Kunze [1, ch. 6].
Многие доказательства теоремы Веддербёрна используют теорию групп. Так,
доказательство Цассенхауза (Zassenhaus [2]) опирается на следующую лемму:
любая конечная группа, в которой нормализатор каждой абелевой подгруппы
совпадает с ее нейтрализатором, является абелевой. По поводу других
теоретикогрупповых доказательств см. Brandis [1 ], Kaczynski [1 ] и Scott
[1, ch. 14]. В книге Blanchard [1, ch. 4] дается доказательство,
основанное на теории когомологий. В статье Herstein [2] использована
комбинация теоретико-кольцевых и теоретико-групповых методов.
Доказательство, использующее многочлены над телами, предложено Артином
(Artin [2]).
Доказательства теоремы Веддербёрна, основанные на теории конечномерных
алгебр и иа результатах, аналогичных лемме 2.58, можно найти в работах
Blanchard [1, ch. 3], Bourbaki [2, ch. VIII,
§ П], Nagahara, Tominaga [1] и van der Waerden [3, ch. 14]. Интересный
вариант доказательства приводится в статье Joly [5], где в решающем месте
использована теорема Шевалле об уравнениях над конечными полями (см.
следствие 6.6).
Другие доказательства и комментарии к истории теоремы Веддербёрна можно
найти в работах Artin [4], Herstein 13, ch. 3], 14 ] и Redei [10, ch. 8].
Известным обобщением теоремы Веддербёрна является следующий результат
Джекобсона (см. Jacobson f 1 ]): если в кольце R для каждого элемента а ?
R найдется натуральное число п (а) > > 1, такое, что ап (а) - а, то R
является полем. Доказательство теоремы Джекобсона имеется также в работах
Herstein [1 ], 12], [3, ch. 3], [4], Laffey [1], Nagahara, Tominaga [1],
Rogers K- 12] и Wamsley [1]. В другом направлении теорема Веддербёрна
была обобщена смягчением условия ассоциативности умножения в конечном
теле (Albert [2], McCrimmon [1]). Характеризация конечных простых полей в
классе почти-колец (near-rings) с единицей была дана в работах Clay,
Malone [1] и Мах-son 11].
IKox (Koh [1*]) получил оценки для числа невырожденных квадратных матриц
порядка п над произвольным конечным полем. В работе Calmet [1*3
рассматриваются алгебраические алгоритмы в конечных полях (типа
алгоритмов для разложения многочленов на множители, нахождения корней
многочленов и т. п.). По тематике второй главы имеются еще следующие
работы: Barker [1*1, Cohen [2*], [3*], [4*], Coppersmith [1*],
Coppersmith, Odlyzko, Schroeppel [1*], Gerth [1*], Heilman, Reyneri [1*1,
Katze, Rajvvade [1*1, [2*], Lempel, Seroussi, Winograd [1*3, Lempel,
104
Гл. 2. Строение конечных полей
Seroussi, Ziv [1*], Mukhopadhyay И*], Muskat, Williams 11*1,1 Pei, Wang,
Omura 11*1, Zeitler [1*1, Кисловская [1*1, Kyp6a* j tob 11*1 и Сейтенов
[1*1. -П epee A 1
(Щ
' 'Ш
Упражнения 1
2.1 Доказать, что многочлен х2 4* 1 неприводим над полем Гц. и пок%Щ зать
непосредственно, что факторкольцо Fn [х!/(х(r) + 1) состоит из 121 эле"Ш
мента. Доказать также, что многочлен 4- х-\- 4 неприводим над полем Fu;|i
и показать, что факторкольца Fn [х[/(л^+ 1) н Fn [д: 1/(дг3 Д- х -{- 4)
изоморфныЩ
2.2. Показать, что для каждого конечного поля, кроме Fs, сумма всех етщя
элементов равна 0. Ш
2.3. Пусть а, b - элементы поля F2TV (ft - нечетное число). Показать,
что.!!
из равенства а2 Н- ab -}- Ь2 = 0 вытекает а ~ b = 0. Я
2.4. Найтн все примитивные элементы поля F7. ;'Я
2.5. Найти все примитивные элементы поля F1T. . Я
2.-6. Найти все примитивные элементы поля Fg- .. |§
2.7. Записать все элементы поля Fas в внде линейных комбинаций базисных Я
элементов над полем Fs- Затем найти какон-ннбудь примитивный элемент $:Щ
поля F25 и Для каждого элемента а С ЕР25 кайтн наименьшее целое
неотрицатель--щ
ное число п, такое, что а (У1. 'Я
2.8. Если элементы мультипликативной группы F* пат я Fv представлены Я
в внде степеней фиксированного примитивного элемента Ь С Fg, то сложение
J1 в поле Fq облегчается введением так называемого логарифма Якоби1) L
(ft), Щ определяемого равенством щ
1 + bn = bL{n\ Я
где случай Ьп - -1 исключается 2). Показать, что тогда всюду, где L опре*
;|| делен, справедливо равенство ||
• f <f$№R
bm -f bn - bm^L (n~m\ ?jj
Построить таблицу логарифмов Якоби для полей Fg и F17. ||
2.9. Доказать, что любая конечная подгруппа мультипликативной группы F* Щ
произвольного поля F циклична.
2Д0. Пусть F - поле. Доказать, что если его мультипликативная группа F* щ
цикличиа, то F - конечное поле. ¦¦¦Щ
2.11. Пусть F - конечное поле и F* - его мультипликативная группа^ Я
