Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
элементы кольца многочленов над конечным нолем. Они необходимы для
построения самого конечного ноля и для проведения вычислений с элементами
этого ноля.
В первом параграфе вводится понятие порядка многочлена. Важным фактом
является связь между минимальными многочленами примитивных элементов
конечного ноля (так называемыми примитивными многочленами) и многочленами
максимального возможного для данной степени порядка. В § 2 представлены
результаты о неприводимых многочленах, не рассмотренные в предыдущих
главах. Третий параграф посвящен конструктивным аспектам неприводимости,
а также вопросу о нахождении минимального многочлена элемента из
некоторого расширения поля.
В последних двух параграфах рассматриваются некоторые специальные классы
многочленов. Линеаризованный многочлен характеризуется тем, что степень
каждого его члена является некоторой степенью характеристики поля. Теория
таких многочленов, интересная сама по себе, позволяет к тому же дать
новое доказательство теоремы о нормальном базисе. Двучлены (биномы) и
трехчлены, т. е. двучленные и трехчленные многочлены образуют другой
класс, для которого тоже можно установить ряд особых свойств,
представляющих значительный интерес. Следует напомнить, что в предыдущей
главе было рассмотрено еще одно полезное семейство многочленов - а именно
круговые многочлены (см. гл. 2, § 4). Некоторые дополнительные факты об
этих многочленах приводятся далее в § 2.
§ 1. Порядки многочленов и примитивные
многочлены
У каждого ненулевого многочлена / иад конечным полем кроме его степени
deg (/) имеется еще одна важная целочисленная характеристика - его
порядок. Определение порядка многочлена °сповывается на следующем факте.
по
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
¦-М
3.1. Лемма. Если / ? Fg 1х]-многочлен степени т ^ удовлетворяющий условию
/ (0) Ф 0, то существует натурал ное число е < qm - 1, для которого
двучлен хе - 1 делится многочлен f (х).
Доказательство. В факторкольце Fg U]/'(f) содержится qm ненулевых
элементов (т. е. классов вычетов по модулю идеала 0? Поскольку каждый из
qm классов вычетов Д -f (/), / - 0, 1, qm - 1, является ненулевым
элементом этого фактор колыц то должны существовать такие целые числа г и
s, 0 < г < $ ^ qm - 1 что = xr (mod (f (х))). А поскольку многочлен
взаимно прост с f (х), то xs-r = 1 (mod (f (х))). Это означа что
многочлен xs_r - 1 делится на f (х), где 0< s - r<qm - К
Так как многочлен х - 1 делится на любой ненулевой постой ный многочлен,
то в следующее определение можно включи' и постоянные многочлены.
3.2. Определение. Пусть / ? Fg [х] - ненулевой мно член. Если / (0) Ф 0,
то наименьшее натуральное число е, д которого многочлен / (х) делит хг -
1 , называется порядк многочлена f (х) и обозначается ord (/) = Ord (/
(х)). Если f (0) - 0, то многочлен f (х) однозначно представим в виде /
(х) = - xhg (х), где h 6 W, g ? Fg 1х] и g (0) Ф 0, и в этом случ порядок
ord (/) многочлена / определяется как ord (g).
Порядок многочлена / иногда называют также периодом ш экспонентой этого
многочлена. Порядок неприводимого мно члеиа f допускает также следующую
характеризацию.
3.3. Теорема. Пусть / 6 Fg 1x1 -неприводимый многочл степени т,
удовлетворяющей условию f (0) Ф 0, Порядок эШ многочлена совпадает с
порядком любого корня этого многочлё в мультипликативной группе Т*т поля
F т.
ч ч
Доказательство. На основании следствия 2.15 Fgm явля полем разложения
многочлена / над полем Fg. Все корни мног члена / имеют по теореме 2.18
один и тот же порядок в группе
Пусть а ? F*m - какой-нибудь корень многочлена /. Тогда
лемме 2.12 равенство ае = 1 выполняется в том и только 1 случае, если
многочлен / (х) делит хе ~ 1. Требуемый результ;
1
I "Hi 'Ii
3
<М
вытекает теперь из определений ord (/) и порядка элемента;! в группе F'm-
3.4. Следствие. Если / ? Fg U] - неприводимый многочл степени т над
полем Fg, то его порядок делит число qm - 1.
Доказательство. Если f (х) - сх, где с ? FJ, то ord (f) - и результат
тривиален. В противном же случае результат в кает из теоремы 3.3 и того
факта, что f*m - группа поряА
qm - 1.
I
§ I. Порядки многочленов н примитивные многочлены
Ш
Для приводимых многочленов утверждение следствия 3.4 не обязательно
выполняется (см. пример ЗЛО). Существует еще одна интерпретация порядка
многочлена /, при которой с многочленом f связывается некоторая
квадратная матрица и ord (/) совпадает с порядком этой матрицы как
элемента некоторой группы матриц (см. лемму 8.26).
С помощью теоремы 3.3 можно получить формулу для числа нормированных
многочленов дайной степени и данного порядка. Снова символом <р будем
обозначать функцию Эйлера, введенную в теореме 1.15 (iv). Удобна
следующая терминология: если п - натуральное и Ь - целое числа, причем
НОД (п, Ь) = 1, то наименьшее натуральное число для которого bk ~ 1 (mod
п), называется показателем, которому принадлежит число Ь по модулю п (его
называют также мультипликативным порядком числа Ъ по модулю п).
