Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 46

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 371 >> Следующая

существует однозначно определенный m-набор (ад, а3, ..., ат^2) элементов
Fqm. который обладает свойством
,т-I
•. щ
¦х&
L (Р) - а0р 4~ + ¦ • ¦ 4"
.'V
¦J
• !*\v
для всех р (= Fqm.
2.37. Доказать, что если учитывать порядок элементов базнса, то *ш
различных базисов поля F"m как векторного пространства над полем Fg рй&
11 щ Н :]
(чт -1)(<г -ч)(iT-q2) ... (ят-чт~'У
лг>:
1.17
2.38. Доказать, что если {а1( .... ат) - базис поля F - F"m как век
У • !Д
иого пространства иад полем К = Fg, то Тгр/К(а^ Ф 0 хотя бы для одног#
1 < / < т.
2.39. Доказать, что существует нормальный базис (а, а?, ..., aqtn поля F
~ Fqm над К = (Fg, для которого TrF/^ (a) = 1.
2.40. Пусть К - конечное поле, F = К (а) - его простое расширение пени п
и f ? К [х] - минимальный многочлен элемента а иад К. Пусть, дад;
I
^ ^ = Ро b $ix Н- ¦ • ¦ 4~ Рп-1хП 1
6 F [х] н у = /' (а).
.и и
а

Доказать, что дуальным к базису (l, а, ап '} поля F над К является зис
{^у"1, fcyr* Pn-iV"1}-
Упражнения
107
2.41. Показать, что существует автодуальный нормальный базис поля F4 нал
{Га, не существует автодуального нормального базиса поля {Fle над F2
(определение автодуального базиса см. в примере 2.31).
2.42. Построить автодуальный баз не поля г1в над [Г2 (определение
автодуального базиса см. в примере 2.31).
2.43. Доказать, что дуальный базис к нормальному базису поля [F^m над [Г?
снова является нормальным базисом.
2.44. Пусть F - расширение конечного поля К с базисом (alt ..., am)
т
над К. Пусть, далее, элементы f^, ..., € F таковы, что ^
hft,} для
1=\
1 < / < т, где btj ? К¦ Пусть, наконец, В ~ (5^) - квадратная матрица
порядка т. Доказать, что
^F/K (^1...........= ^)3* ^F/K. (aI am)-
2.45. Пусть К ~ Tq н F - [F^m- Доказать, что для любого a ? F имеет место
равенство
'V/kO, a, сст~}) = JJ (а?( - а?*)2.
2.46. Доказать, что для a ? F =-Fqm с m>2 и K~Tq дискриминант
(l, at, ..., a"1'"1) совпадает с дискриминантом характеристического
многочлена элемента а над полем К (см. определение 1.92).
2.47. Найтн первообразные корнн 4-й и 8-й степеней из единицы в поле [Г8.
2.48. Найти первообразный корень 9-й степени из единицы в поле iFi".
2.49. Пусть ?- корень л-й степени из единицы над полем К. Доказать,
что
> + Е + ЕЧ-- + С"-1-{" Т г*!'
{ п При ? = 1.
2.50. Для л > 2 пусть ?ь ..., ?п - все (не обязательно различные) корни
п-й степени нз единицы над произвольным полем К* Доказать, что
1_^=Л° при 2. л-1.
1 п \ п при к - 0.
2.51. Показать, что = К^ для произвольного поля К н нечетного
числа л.
2.52. Пусть К - произвольное поле. Доказать, что круговое поле К
является подполем поля для каждого положительного делителя d числа
я ё 1N. Найти минимальный многочлен над полем К{4) такого корня из
единицы, который может служить образующим элементом простого расширения
К1П) над /сем
2.53. Доказать, что если р - простое число, то р - 1 первообразных кор-
кей р-й степени нз единицы над полем Q рациональных чисел линейно
независимы над Q и потому образуют базис поля над Q.
2.54. Пусть К - произвольное поле ил-- натуральное число, большее
единицы. Доказать, что многочлен -f- хп~2 + ... -f- х ~f- 1 неприводим
над /с, лишь когда л - простое число.
2.55. Найти наименьшее простое число р, такое, что многочлен х22 -{- хп
"Г + x-j- I неприводим над нолем Fp.
2.56. Найти десять наименьших простых чисел р, таких, что многочлен
-]¦- хр~~2 ~F ...+ х -f- 1 неприводим иад полем (Г2.
108
Гл. 2. Строение конечных полей
Ж

2.57. Доказать следующие свойства круговых многочленов над люб: полем,
для которого они определены:
(а) Qmp (х) - Qm (xp)/Qm (*}> если р - простое число н натуральное числа
не делится на р\
(^) Qmp (*) ~ Qm (*р) для всех натуральных чисел ш, кратных просто: числу
р;
(c) Qmpb (х) = Qmp (хр )' если р ~ Простое число н т, k € IN;
(d) Qm (х) " Qn (-*), еслн п ^ 3 - нечетное число;
(e) Qn (0) ~ Ь еслн п > 2;
(О Qn (*"') *Ф{П) = Qn {*)" если п > 2;
0, если п - I,
Ж
(8) Qn (1) -
(Ь) Qn (-0 =
р, если п ~~ степень простого числа р,
1, если п имеет по крайней мере два различных лрос делителя;
0, если п - 2,
-2, еслн п - 1,
р, если п - удвоенная степень простого числа р,
1 в остальных случаях.
> .. . .
2.58. Дать представление с помощью матриц для элементов поля F8l ислоД
зуя для этой цели неприводимый многочлен г*ф- х + 1 над полем F2.
2.59. Пусть ? - примитивный элемент поля F ~ F^, такой, что ?4 + ?
з
4-1 = 0. Для к > 0 запишем ?* - аы?, где ам ? F2, и пусть М^
ы о
- - квадратная матрица 4-го порядка с элементами т\р = f
Показать, что 15 матриц М^, 0 ^ к ^ 14, и нулевая матрица 4-го порядка
зуют поле (относительно операций сложения н умножения матриц над полем
которое изоморфно F. Доказать, что для 0 < к ^ 14 след Trf (?*) равен сл
матрицы и совпадает с коэффициентом
Ж
Глава 3
Многочлены над конечными полями
ч
Теория многочленов над конечными полями важна как для исследования
алгебраической структуры конечных полей, так и для многочисленных
приложений. При этом особую роль играют неприводимые многочлены - простые
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed