Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 41

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 371 >> Следующая

приводится в статье Dickson [6]. См. также Szele [1].
В связи с леммой 2.4 заметим, что простая формула для п (х - а")
неявно содержится в работе Rados [5]; см. также относящиеся к этому
статьи Beeger [1 ], Lubeiski [1 ] и Ore [3].
Метод, использованный при доказательстве теоремы 2.8, можно применить и
для доказательства следующего более общего утверждения: каждая конечная
подгруппа мультипликативной группы поля циклична. Справедливо также
обращение теоремы 2.8 (см. упр. 2.10). В статье Gilmer [1] найдены все
конечные коммутативные кольца с единицей, в которых делители единицы
образуют
циклическую группу. В статье Сцрола [1 ] конечные поля характеризуются
свойствами порядков элементов мультипликативной группы данного поля.
Примитивные элементы конечного поля Fp при простом числе р
рассматриваются также в элементарной теории чисел, гДе они носят название
первообразных корней по модулю р. Задача нахождения первообразных корней
по модулю р ставилась Гауссом (Gauss 111); см. также Desmarest П 1,
Frolov N1, Jacobi [3], Schonheim [1], Stern til и Чебышев [1]. Цассен-
Хауз (Zassenhaus (41) построил алгоритм для нахождения примитивных
элементов любого конечного поля fq. О частном случае ноля где р - простое
число Мерсенна, см. также Miller, Reed, Truong [1], Reed, Truong [ 1J н
Reed, Truong, Miller [4J.
98 Гл. 2. Строение конечных полей
Первая большая таблица первообразных корней была построен#! Якоби (Jacobi
[3]) в 1839 г. Более подробно о таких таблица#! см. в гл. 10. С
примитивными элементами мы встретимся еще в связщ с так называемыми
примитивными многочленами (см. § I гл. 3)а Дэвенпорт (Davenport 16 3)
показал, что если простое число щ достаточно велико, скажем р > р0 (п), и
0 - образующий элеД мент поля Fpn как простого расширения поля Fp, то в
поле Fj| найдется такой элемент а, что 0 - а является примитивным эле!|
ментом поля С другой стороны, для данного р > 2 существ! вуют расширение
fyi и образующий элемент 0 его как иростогщ) расширения поля Fp, такие,
что ни один из элементов Й0 + еЛ где Ь, с ? Fp, не является примитивным
элементом поля Fpndf Различные количественные улучшения и обобщения были
полууЙ чены в работах Carlitz [34], [41 j, Friediander [1 ] и Schwarz
I7.'||g см. также Giudici, Margaglio [2] для случая квадратичного расцщ|
рения поля Fe. Дэвенпорт и Льюис (Davenport, Lewis [3]) уста^;| новили
один результат о распределении примитивных элементов! в конечных полях,
обобщающий результат, полученный Бёрджем сом (Burgess 12]) для простых
полей Fp. Позднее Берджесс (Bum gess [7]) улучшил результат Дэвенпорта и
Льюиса для полей Fpiyj а Карацуба [6] распространил его на общие конечные
поля. В ста?Ш тье Stevens Н. 11 3 доказан один элементарный результат о
распрей делении примитивных элементов. В работе Gerjets, Bergum llfl
изучено распределение примитивных элементов в поле Fp* с элей ментарной
точки зрения. Простое доказательство существований примитивных элементов
с абсолютным следом 1 в конечном ноле F^f характеристики 2 получено в
статье Moreno О. [2 ]. Из результат#! И. М Виноградова (см. Виноградов И.
М. [И ]) следует, что ДДщ| данных целых чисел а и b и всех достаточно
больших простых Чщщ сел р существует целое число с, такое, что каждое из
чисел в с + а, с + Ь является первообразным корнем по модулю .0щ Сегал [1
3 показал, что для данного целого числа г 2 и всеЩ достаточно больших
простых чисел р существует такое цедЦ! число с, что каждое из чисел с -Ь
1, с f 2, с ¦{- г является первообразным корнем по модулю р\ этот
результат был обобщ^И Карлицом (Carlitz 168]). См. также Johnsen [1],
Szalay [?|§j [2j, Vegh 11], 12], 13], 14], [5], [6] и Виноградов И. М.
1#||| В работах Madden 11], Виноградов И. М. 15] и Сегал [1] из;ш| чается
распределение примитивных элементов среди значений дЛ1 ного многочлена.
Эрдеш (Erdos [1 ]) составил список иерешеншо! проблем и полученных
результатов о первообразных корнях ЙИ модулю /?. Для логарифма Якоби,
определяемого с помощь(tm) примитивных элементов (см. упр. 2.8), в книге
Jacobi [2 ] построен" таблицы (для простых полей Fp, р < 103); более
удобные ДД§|1 вычислений таблицы приведены в работе Convay 11 ], см.
такМи гл. 10, § 1 и таблицу В. В статье Gauss [1 ] дана формула двИ
Комментарии
99
суммы всех примитивных элементов простого поля Fp, а в статье Stern [ 1 ]
дана аналогичная формула для суммы всех элементов фиксированного порядка
группы Fp. В работе Forsyth [1] получена формула для суммы к-х степеней
всех примитивных элементов поля Fp; см. также Czarnota [1]. Шимичек
(Szymiczek И]) вывел формулу для суммы &-х степеней всех примитивных
элементов произвольного конечного поля Fg, и даже для суммы k-x степеней
всех элементов фиксированного порядка группы FJ.
В связи со следствием 2.11 заметим, что формула для числа нормированных
неприводимых многочленов степени п в кольце Fg Ь'З будет получена в
теореме 3.25. Это приведет к новому доказательству следствия 2.11 (см.
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed