Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
5 = 1
НОД (5, п) = I
где комплексное число ? является первообразным корнем п-й степени из
единицы над полем Q рациональных чисел. Поэтому, переходя к модулю
комплексного числа Qn (q)y получаем
I Qn О?) I " П !? - ?*!> П {я ~ - Ь
5=1 5=1
НОД (S, я) = I НОД (s, я) = I
гак как п > 1 и q ^ 2. Это неравенство несовместимо с утверждением, что
Qn (q) делит q - 1. Полученное противоречие означает, что п = 1, т. е. D
- Z, что и доказывает теорему. П
Прежде чем приступить ко второму доказательству теоремы Веддербёрна,
установим несколько вспомогательных результатов. Пусть D - конечное тело
с центром Z, и пусть Е - максимальное подполе тела D, т. е. F - такое
подполе тела D, что единственным подполем этого тела, содержащим Е,
является само поле F, Тогда F является расширением поля Z, Действительно,
если бы существовал элемент г ? Z, z ф Е, то, присоединяя г к Е, мы
получили бы подполе тела D, содержащее Е в качестве собственного подпол
я, что противоречит максимальности Е. Согласно теореме 2.10, F - Z (?),
где ? ? Е* - корень некоторого нормированного неприводимого многочлена /
? Z U1.
Если рассматривать тело D как векторное пространство над полем Е, то для
каждого фиксированного элемента a (j D равенство
Та (d) da для любого d ? D
94
Гл, 2, Строение конечных полей
определяет некоторый линейный оператор Та в этом векторном пространстве.
Рассмотрим теперь линейный оператор Если d - какой-нибудь собственный
вектор этого оператора, то для некоторого Я ? F* (соответствующего
собственного значения) будем иметь (d) - dfe - Xd, или d%4~1 - X. Отсюда
вытекает, что dF*dr1 = F\ т. е. элемент d принадлежит нормализатору N
(F*) группы F* в группе/)*. Обратно, если d ? N (Е*), то did"1 ~ Х-: для
некоторого X ? F*, а это означает, что d - собственный век-; тор
линейного оператора Т%. Таким образом, мы доказали еле-; дующий
результат. j
2.56* Лемма. Элемент d ? D* является собственным векто . ром линейного
оператора Т\ в том и только том случае, когдщ| он принадлежит
нормализатору N (F*) группы F* в группе В*Л
.'Л
ъаУ \
ному вектору d линейного оператора Tv т. е. если ^ - Xd, то
Это означает, что X должно быть корнем многочлена /. Если d6 -4 другой
собственный вектор, соответствующий тому же собствен-! ному значению Я,
то d^tlXddll = Я, так что элемент b = d^d'1 ¦ коммутирует с Я, а
следовательно, и с каждым элементом полй| F ~ Z (Я). Если через Р
обозначить множество значений много-j членов из F [х] при х = Ь, то легко
проверить, что Р образуё#| конечное целостное кольцо, а значит (ввиду
теоремы 1.31), Р -^1 конечное поле. Но поскольку Р содержит Е, то ввиду
максималь^| иости F имеем Р - F. В частности, получим, что b ? F, а та&|
как dQ - bd, то заключаем, что собственному значению Я не й жет
соответствовать двух и более линейно независимых собст ных векторов.
Теперь нам понадобится следующий результат линейной алгебры.
2.57. Лемма. Пусть Т - линейный оператор в конечно.
тоже разлагается в F в произведение различных нормирован линейных
сомножителей. Поэтому по лемме 2.57 векторное ] странство D над F имеет
базис, состоящий из собственных ве ров оператора Т%. Но выше было
показано, что каждому собст
Если Я - собственное значение, соответствующее собствен
ном векторном пространстве V над полем К. Для того чт пространство V
имело базис, состоящий из собственных векпь оператора 7\ необходимо и
достаточно, чтобы минималь многочлен оператора Т разлагался в поле К в
произведение раз
ных нормированных линейных сомножителей.
Кроме того, ввиду теоремы 2.14 f разлагается в поле F в прои деиие
различных нормированных линейных сомножителей, нимальный многочлен
оператора Т% делит /, а следовател!
Так как / (1) = 0, то многочлен / аннулирует оператор
§ 6, Теорема Веддербёрна
95
ному значению этого оператора может отвечать лишь одномерное собственное
подпространство. Следовательно, размерность т векторного пространства D
над F равна числу различных собственных значений оператора Т%. Пусть | =
?lt |2) \т - различные собственные значения линейного оператора Т§, а ] =
du 4>, dm - соответствующие им собственные векторы, образующие базис
векторного пространства D иад F. Так как N (F*) как группа замкнуто
относительно умножения, то в силу леммы
2.56 произведение didj тоже является собственным вектором оператора 7\,
соответствующим некоторому собственному значению 1й, так что didfi -
а поскольку dfi - Ijdj, то отсюда
получаем d:*i/ - lkdit или d&?djl - \k> Это доказывает, что для любого i,
1 < i < m, отображение, переводящее |/ в d?/dixt переставляет собственные
значения между собой. Если ввести многочлен g (х) = (х - lj) ... (х -
|т), то сказанное выше означает, что его коэффициенты коммутируют с
собственными векторами dl7 ..., dm оператора 7g. Так как коэффициенты
миогочлеиа g, очевидно, принадлежат полю F, а значит, коммутируют со
всеми элементами этого поля, то они коммутируют также и со всеми
элементами D, поскольку каждый такой элемент может быть представлен в
