Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
теореме 2.39 является степенью характеристики поля F?, то утверждение
теоремы выполняется при более слабом предположении, а именно что след
элемента а над отличен от нуля; об этом случае см, также Perils [1],
Burde [5] и Childs, Orzech [I].
Эффективный алгоритм построения базисных векторов для всех подпространств
заданной размерности некоторого векторного пространства над полем Fg
получен в статье Calabi, Wilf 11]. Некоторые комбинаторные задачи для
векторных пространств над конечным полем были рассмотрены в работах Baum,
Neuwlrth 11], Bu Ц], Constantin, Courteau [1], Jamison Ц], Lee A, 11 ],
Luh f 1 1 и Wolfmann [1 ]. В статье Brawley, Hankins [1] дан перечень
базисов векторного пространства, образованного т X п-матрицами над F?, в
соответствии с рангами базисных матриц.
§ 4. Явная формула для кругового многочлена будет указана в теореме 3.27.
Результат теоремы 2,47 (i) был установлен впервые Кронекером(Кгопескег [I
]). Другие классические доказательства принадлежат Арндту (Arndt [1 ]),
Дедекннду (Dedekind [2]) и Лебегу (Lebesgue 13]). Доказательства этой
теоремы можно найти также в книгах Lang [4, ch. 81, Redei [10, ch. 8] и
van der Waerden 12, ch. 8]. Разложение круговых многочленов над простыми
полями Fp рассматривалось Гауссом (Gauss [4]), Шёнеманном (Schonemann
[3]) и Пелле (Pellet [5]) еще в XIX в. См. об этом также Balliей Ц ],
Chowla, Vijayaraghavan [1], Go's о mb [7], Guerrier Ц], Lubelski 12],
McLain, Edgar [I], Redei 110, ch. 8] и van de Vooren-van Veen [1 ].
Случай произвольного конечного поля F? рассмотрен в статье Raut?r [2]. Из
теоремы 2.47 (ii) и элементарной теории чисел следует, что круговой
многочлен Qn неприводим над полем F? тогда и только тогда, когда q -
первообразный корень по модулю пип принимает значения 4, гк или 2rk при
простом нечетном числе г и неотрицательном целом числе к. Подробнее о
методах отыскания разложений круговых многочленов иад конечными полями
см. в гл, 4, особенно в примере 4.6. Упражнение 2.57 содержит список
дальнейших свойств круговых многочленов.
В статьях Reed, Truong, Miller II], [2] развиты эффективные методы
вычисления корней некоторой степени из единицы в конечных полях
специального вида; см. также Liu, Reed, Truong [1 ]. В работе Althaus,
Leake 11 ] дана формула обращения матрицы Вандермонда, элементами которой
являются корни из единицы, см. также Knuth [2, ch. 1 ].
102
Гл. 2, Строение конечных полей
¦ ¦
. ¦/ j
§ 5. В дополнение к уже рассмотренным методам представления конечных
полей заметим, что конечные поля можно рассмаД трнвать также как
факторкольца кольца целых алгебраических! чисел по простым идеалам, -
этой точке зрения придавал особое! значение Дедекинд (Dedekind [3]); см.
также Burde [7] н Niederj reiter [14]. Цассенхауз (Zassenhaus [4 J) дал
алгоритм построения! конечных расширений поля а Ю. П. Васильев в Ц]
рассма*! трнвает этот вопрос с точки зрения применения ЭВМ; см. также!
Chor Ц]. О представлении элементов конечных полей матрицами! см.
Scognamiglio 11 ]. В этой связи интересны также работы Beardl [1], 12],
13], 14] и Beard, McConnel [1]. Некоторые результаты! о сопровождающей
матрице многочлена, используемой в этом пара*! графе, можно найти в книге
Hoffman, Knnze [1, ch. 7]. i
В статье Hohler [1 ] поле FP* строится на базе простого поля F J
способом, напоминающим построение комплексных чисел на базе!
действительных. Дальнейшие представления элементов конечных! полей можно
найти в работах Bartee, Schneider [1], Fadini [П, | Monnig [1 ], Neikirk
11]. Конечные поля, которые можно рассма* ! тривать как подпол я
факторкольца были охарактеризо- J
ваны в статье Nymann 111. В работе Raktoe П] показано, как! некоторые
кольца, аналогичные кольцу многочленов над коль-if цом 35/(т), можно
построить, исходя из конечных полей и колец Я многочленов над конечными
полями. Я
§ 6. В 1905 г. Веддербёрн доказал, что каждое конечное тела, j является
полем. Со времени исходной статьи Веддербёрна Wed-Я derhurn [1 ] было
дано много других доказательств этого резуль*|1 тата, и они допускают
разветвленную классификацию в зависнув мости от используемого аппарата:
теории чисел, теория групп^В линейной алгебры, теории конечномерных
алгебр или теории ко#|1 гомологий. В статье Веддербёрна приведено три
доказательства^ этого результата. Первое, основанное на линейной алгебре
и теочЩ рии минимальных многочленов, однако, как заметил АртизйЛ
(Artin[21), оказалось ошибочным; см. Hinz fl ], где это доказатель^щ!
ство исправляется. Другие два доказательства основаны иа слеЙЯ дующей
теоретико-числовой лемме: если п и b - такие целые"! числа г^2, что
каждый простой делитель числа bn - 1 делит числйЯ bm - I при некотором m,
1 < т < я, то либо п ~ 2 и b 1 степень двойки, либо п ¦--¦¦¦ 6 и 6 = 2
(см. Zsigmondy [11, Birk*(tm) hoff, Vandiver [1 ], а также Artin [5]).
Диксон в статье Dicksoil" [8] дал свое доказательство теоремы Веддербёрна
(использующеши эту же лемму); при этом он отмечает, что Веддербёрн
