Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 48

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 371 >> Следующая

3.5. Теорема. Число нормированных неприводимых многочленов из 1x1 степени
т и порядка е равно ф (е)!т, если е ^ 2, а пг - показатель, которому
принадлежит число ц по модулю е, равно 2, если т - е - 1, и равно 0 во
всех остальных случаях. В частности, степень неприводимого многочлена из
fq 1x1 порядка е должна совпадать с показателем, которому принадлежит
число q по модулю е.
Доказательство. Пусть / - неприводимый многочлен из fq [xl, причем / (0)
Ф 0. Тогда по теореме 3.3 ord (/) - е в том и только том случае, если все
корни многочлена / являются первообразными корнями степени е из единицы
над полем JV/} т. е. если f делит круговой многочлен Qe. По теореме 2.47
(ii) все нормированные неприводимые делители многочлена Qe имеют одну и
ту же степень, и этой степенью является наименьшее натуральное число т,
для которого qm = 1 (mod е). Число таких делителей равно ф (е)!т. Для т =
е = 1 мы должны принять в расчет также нормированный неприводимый
многочлен f (х) - х.
Значения порядков многочленов удобно представить в виде таблицы, по
крайней мере для неприводимых многочленов (см. § 2 гл. 10). Так как
каждый многочлен положительной степени можно записать в виде произведения
неприводимых многочленов, то вычисление порядков многочленов значительно
упрощается, ?сли знать, как находить порядок степени неприводимого
многочлена и произведения попарно взаимно простых многочленов.
Последующий материал посвящен как раз этим вопросам.
8.6. Лемма. Пусть с - натуральное число. Многочлен / ? € (Рг/ 1x1,
удовлетворяющий условию f (0) Ф 0, делит двучлен хс - 1 в том и только
том случае, если ord (/) делит число с.
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
xW:; Г;*" i>m*i тп^гтуаигтиу
4 I ¦ ¦¦¦¦уу-ч ------------------------ -" "."т гт¦ ¦ ГГГУ~ГПТГ ITW
ГГМУЫГ~<VII
Доказательство. Если число е ord (/) делит с, то много*
член f (х) делит хе- 1а хе - 1. делит хс ~ 1. Обратно" если'
многочлен / (х) делит xfi - 1, то по определению порядка много-Jj члена с
е, так что можно записать с ~ те 4- г, где т 4
и 0 с г < е. Так как хс - 1 - {хте - I) хг ¦¦¦}¦¦¦ (хг - 1), то много*)
член / (х) делит жг - 1 (поскольку делит остальные два члена! предыдущего
равенства), а это возможно лишь при г -число е делит с.
0. Значит,-!
больший общий делитель многочленов х
3.7. Следствие. Если е-х и - натуральные числа, то наи*4
е
1
а х
в Fa Ш
равен xd - 1, где d НОД (е,, еа).
Q
¦щ
h'o:
Доказательство. Пусть [ (х) - нормированный наибольший^ общий делитель
многочленов х*1 - 1 и У'3 ¦- 1. Поскольку^
xd - 1 - общий делитель этих многочленов, то xd I делит / (х).;||
С другой стороны, так как / (ж) делит и х*1 - К н хе* - !, то по!
лемме 3.6 порядок многочлена / (ж) делит как elt так и е2, Счедова-
тедьно, ord (/) делит dt а значит, согласно лемме 3.6, многочлен! f (ж)
делит xd - I. Объединяя полученные результаты, заключаем,) что / (У) - хй
- I.
Так как при определении порядка миогочлеиа не учитывается.;; его
сомножитель, равный степени переменной х, то нет необхо-f дм мости
рассматривать степени таких неприводимых многочленов; g (х), для которых
я (0) - 0-
Щ
if
3.8" Теорема. Пусть п f SN и g (х)-не привод и шли много член над
конечным полем характеристики р, такой, что g (0)
Ф 0. Тогда для многочлена вида f ~
П
ord (/) ord (gn) pt ord (g)
m
где t ¦- наименьшее целое число, для которого р( п
Доказательство. Положим е - ord (я) и с - ord (/). Учиты*|
вая, что делимость двучлена хс - 1 на многочлен / (х) влечет за| собой
делимость Xе - 1 па многочлен (х), получаем в силу)
леммы 3.6 что число е делит с. Далее, многочлен g (х) делит хе
Щ
ш
поэтому / (х) делит (хе - l)", а значит, делит и (хе

t
x*pt - 1. Таким образом, в силу леммы 3.6 число с делит ерЩ
Учитывая доказанное ранее, получаем, что число с имеет в:
с ¦¦¦-¦ ерд где 0 s •< t. Заметим, что многочлен хд
е
1
S
лишь простые корни, так как по следствию 3.4 число е не делите^
на р. Поэтому все корни многочлена хер" - 1 - (хе - \)р' име
кратность рх Но так как многочлен / (х) ^ (g (х)Е делит Xе~ то" сравнивая
кратности корней, получаем, что ps гм н, так чт| s Дл t. Таким образом,
заключаем, что s ^ t и с ~ ер*.
ш
§ 1. Порядки многочленов и примитивные многочлены
113
3.9. Теорема. Пусть gu .... gk - попарно взаимно простые ненулевые
многочлены над полем [Fg, и пусть f = gl ... gk, Тогда
ord (/) - ord (gi ... gb) = HOK (ord fe), ..., ord (gh)).
Доказательство. Нетрудно видеть, что для доказательства теоремы
достаточно рассмотреть лишь случай, когда gt (0) Ф 0, i 1, к. Положим е =
ord (/) и ег - ord (^), i = 1, к, и пусть с - НОК (е1т ек). Тогда каждый
многочлен gt (х),
1 <; i -< k, делит двучлен Xе* - 1 и потому делит Xе - 1. В силу попарной
взаимной простоты многочленов glt ...,gk получаем,
k
что / (х) = П gi (х) делит Xе - 1. Учитывая лемму 3.6, мы видим,
I
что число е делит с. С другой стороны, f (х) делит хе - 1 и,
следовательно, каждый многочлен g-t (х), 1 <[/<[?, делит Xе - 1. Снова
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed