Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
замечания, следующие за примером 3.26).
§ 2. Важная теорема 2.14 была доказана Галуа (Galois [1]). Эта теорема
выражает тот факт, что каждое конечное расширение Fgm конечного поля
является нормальным расширением, т, е. оно обладает тем свойством, что
каждый неприводимый многочлен из Fg 1x1, имеющий хотя бы один корень в
поле Fgm, разлагается в этом поле на линейные сомножители. Справедлив и
более общий результат: расширение произвольного поля К является конечным
нормальным расширением в том и только том случае, ее ли оно является
полем разложения над К некоторого многочлена нз К Ixj. Теорема 2.14,
кроме того, показывает, что любое конечное поле является совершенным
полем, т. е, обладает следующим свойством: каждый неприводимый над этим
нолем многочлен имеет лишь простые корни. В соответствии с известной
характеризацией совершенными являются поля характеристики 0 и те поля
простой характеристики р, для которых корень р-й степени из любого
элемента поля содержится в этом поле. Последнее условие непосредственно и
легко проверяется для конечных полей (ср. с упр. 2.12).
Автоморфизм а поля Fgm над Fg, порождающий все автоморфизмы ноля Fgm иад
Fg (в соответствии с теоремой 2.21), называется автоморфизмом Фробениуса
поля Fgm над Fg- Группа автоморфизмов поля Fgm над Fg носит также
название группы Галуа поля Fgm над полем Fg. Эта группа играет основную
роль в теории Галуа. О теории Галуа см. Artin [8], Gaal 11], Jacobson
[2], Lang [4, ch. 8], van der Waerden [2, ch. 8] (а также Постников М. М.
И* ]. -'Перев.), а о том частном ее случае, который рассматривается
здесь, см. Dickson [10] и Scarpis [3]. В силу теоремы 2.21 группа Галуа
поля Гдт над Fg циклическая, и, следовательно, Fgm - циклическое
расширение поля Fg.
Неприводимые многочлены над конечными полями будут рассматриваться и в
гл. 3 (особенно в § 2, 3 и 5).
§ 3. Результаты теоремы 2.25 и упр. 2.33 являются частными случаями для
следов н норм теоремы 90 Гильберта, справедливой
100
Гл. 2, Строение конечных полей
¦* .м
¦4
¦Л
iV?
$
sV>i
¦*.
-•'•U
iVtS
для любого конечного циклического расширения некоторого поля (Hilbert
[2]). См. также упр. 2.30 и 2.31 о других доказатель* ствах теоремы 2.25.
Об обобщениях теоремы 90 Гильберта см* Albert [3, ch. 4], Bourbaki [I,
ch. V, § 11 ], Jacobson 12] и Win*
ter [1].
В связи с понятием автодуального базиса (см. пример 2.31) заметим" что в
статье Seroussi, Lempel 11 ] показано, что поле F Ф " Fдтп тогда и только
тогда имеет автодуальный базис над К - ц - Fe, когда либо q четно, либо q
и т оба нечетны. В той же статье доказано, что поле F всегда имеет
следоортогональный базис над А, т. е. базнс {аи ..., ат}, такой, что
Тгг/д ("i(r)/) = 0 для i Ф fi Для случая q - 2 эти результаты были
установлены равьшб в статье Lempel 12]. В книге MacWilliams, Sloane 12,
ch. 4] показано, что поле Fam имеет автодуальный нормальный базис*
если т нечетно. Для четного т это не всегда верно (см. упр. 2.41).
Доказательство леммы 2.34 приводится, например, в книге Hoffman, Kunze
[I, ch. 7]; указанное пособие можно рекомендо* вать для справок и по
другим вопросам линейной алгебры. ТеО* рема 2.35 является частным случаем
общей теоремы о нормаль* ном базисе для конечных расширений Галуа (см.
Albert 13, ch. 4], Bdrger, Reiner tl], Deurmg [1], Jacobson 12], Redei
110, ch. li fe Waterhouse 13]). Другое доказательство теоремы 2.35 вместе
с фо мулой для числа различных нормальных базисов поля F?m над будет
приведено в гл. 3 (см. теорему 3.73 и следующее за ней замё! чание).
Теорема о нормальном базисе для конечных полей сформулирована
Эйзенштейном (Eisenstein [6]) и частично дока* зана Шёнеманном
(Schonemann 14]). Первое полное доказателС ство ее дал Гензель (Hensel [1
]). См. также Krasner 12], где даете иной тип доказательства. Таблицы
нормальных базисов и дуальных базисов к полиномиальным и нормальным
базисам построй! Коивей (Conway П I) для полей характеристики 2; см.
также гл.
(§ 1 и табл. В). О приложении теоремы о нормальном базисе к теб| рии
кодирования см. Camion [1 ]. I
Мур (Moore 13]) представил определитель из следствия 2.
т
23 км
I
m-наборам (Ьи Ьт) ? Fj\ Для которых ненулевой элемент
с наибольшим индексом равен 1. См. также лемму 3.51, где формула
доказывается проще. В статье Carlitz [85] доказано й сколько аналогичных
равенств для определителей. Прямое док|§ зательство следствия 2.38, не
использующее формулу Му было дано Диксоном (Dickson 12], 17, part 1, ch.
4]). Теорб 2.39 была в эквивалентной форме доказана Дэвенпортом (Da? port
19]). В этой же статье содержится доказательство теоре
$ п
• К Гг.!
в
виде JJ
JL "Я"
где произведение берется по всем ненулев;
Ж
Комментарии
101
2.40. Для конечного поля F достаточно большого порядка этот результат
раньше был уже установлен Карлицом (Carlitz 135]). Ленстра (Lenstra Н. W.
[ 1 ]) показал, что нормальный базис поля Ft состоящий из примитивных
элементов, существует над любым подполем этого поля. Если число т в
