Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
= 0.
?3
/Я
Доказательство. (i) 'Каждый корень гг-й степени из едини над полем К
является первообразным корнем d-й степени единицы над К ровно для одного
натурального делителя d числа п А именно если ?s - произвольный корень п-
й степени из единицц над К (где ? - некоторый первообразный корень гг-й
степени из единицы над К), то указанное число d равно гг/НОД (s, гг), т.
е. d -j порядок элемента ?s в группе EinK Поскольку
Л
Хп - 1 = П (* - С').
S"I
формула в утверждении (i) получается собиранием тех множите* лей (х -
?s), для которых ?s является первообразным корнем d-степени из единицы
над К (для,каждого положительного делителя числа гг). 1
(ii) Это утверждение доказывается индукцией по гг. Отметим, что Qn (х) -
нормированный многочлен. Для гг = 1 имеШ Qx {х) = х - 1, и утверждение
справедливо. Пусть теперь гг > у и допустим, что утверждение справедливо
для всех (х), 1 < d < п. Тогда ввиду (i) получаем, что Qn (х) = (хп- \)If
(хЦ
где / (х) - Qd(x). Из предположения индукции следует
d | nf d<n
что f (х) - многочлен с коэффициентами из простого подпол поля К (при
простом р) или из кольца Z (при р - 0). Примени обычное деление углом
многочлена хп - 1 на f (х), где f (х) нормированный многочлен, легко
убеждаемся, что коэффициент! многочлена Qn (х) тоже принадлежат простому
под полю поля (при простом р) или кольцу Z (при р = 0).
2.46. Пример. Пусть г - простое число и k ? М. Тогда
ш
Qrk (*) = !+ #
ft-I
так как no теореме 2.45 (i)
Qrk (*)
xT
i
J
1
Qi (x) Qr (x)
Q-fc-i (*)
xT
ft-i
1
Для k = 1 имеем просто Qr {x) = 1 -f x -f x2 -f ... -f- xr~~l
Явное выражение для гг-кругового многочлена, обобщаю] формулу из примера
2.46, мы дадим в § 2 гл. 3. Для приложен^
§ 4. Корин из единицы и круговые многочлены
87
к конечным полям полезно знать некоторые свойства круговых
2.47. Теорема. Круговое поле К{п) является простым алгебраическим
расширением поля К. Кроме того,
(i) Если К = Q, tno : К1 = Ф (п), причем круговой многочлен Qn неприводим
над К (здесь ф - функция Эйлера).
(ii) Если К = fq и НОД (q, п) = 1, то [/С(Л) : К1 ~.dt ede d - наименьшее
натуральное число, такое, 4moqd = 1 (mod п). При этом круговой многочлен
Qn разлагается в произведение ф (n)!d различных нормированных
неприводимых многочленов из К [х] одной и той же степени d и К{п)
является полем разложения каждого из этих многочленов.
Доказательство. Если существует первообразный корень п-й степени из
единицы ? иад К, то ясно, что К{п) ~ К (?). В противном случае К - поле
простой характеристики р, делящей число п, и мы попадаем в ситуацию,
описанную в теореме 2,42 (ii), и тогда К(п) - К{т\ где п - тре, НОД (m,
р) = 1, так что снова К{п} - К (?), поскольку существует первообразный
корень т-й степени из единицы ? над К.
Из остальных утверждений мы докажем лишь (ii) как случай, особенно важный
для иаших целей. Пусть ц - первообразный корень п-й степени из единицы
над Fg. Тогда ц ? F^ в том и
сравнению qk = 1 (mod j ге натуральное число kt
для которого выполняется это сравнение, равно d, так что ц ? ? F но ц не
принадлежит никакому собственному подполю
поля F л- Поэтому минимальный многочлен элемента ц над полем К - F? имеет
степень d, и так как ц - произвольный корень многочлена Qn, то требуемый
результат установлен. П
2.48. Пример. Пусть К - Рц и Q1% (х) - х4 - х2 4 1 ? € Рц 1х]. В
обозначениях теоремы 2.47 (ii) мы имеем d = 2. Действительно, разложение
многочлена Qia (х) на неприводимые сомножители в кольце Fn [х ] имеет вид
Qia (х) = (ха 4 + 5x4- 1) (ха - 5х + 1), Круговым полем /С<|2> является
рш.
Дальнейшую связь между круговыми и конечными полями Устанавливает
следующая теорема.
2.49. Теорема. Конечное поле Fg является (q - 1)-круговым полем над любым
из своих подполей.
Доказательство. Многочлен х*"1 - 1 вполне разлагается в поле Fe, так как
его корнями являются как раз все ненулевые элементы поля FQ. С другой
стороны, ясно, что этот многочлен нс может вполне разлагаться ии в наком
собственном подполе
полей.
только том случае, если
равенство эквивалентно
88
Гл. 2. Строение конечных полей
поля Fq. Следовательно, Fg является полем разложения много члена х*?"1 -
1 над любым из его подполей. ' 0!
Поскольку FJ - циклическая группа порядка q - 1 (cor ласно теореме 2.8),
то .для любого положительного делителя числа q- 1 существует циклическая
подгруппа {1, а, а*"1! группы FJ порядка п (см. теорему 1.15 (iii)). Все
элементы это подгруппы являются корнями n-й степени из единицы над любым
подполем поля Р9" а ее образующий элемент а является перво* образным
корнем п-й степени нз единицы над любым подполей! поля Fg-
Закончим параграф леммой, которая позже нам пригодится.;
2.50. Лемма. Пусть d - делитель натурального числа nt 1 <? < d < п. Тогда
п-круговой многочлен Qn (х) (если, конечно, он определен над
рассматриваемым полем) делит многочлен
(хп - 1)/(х^ - 1).
Доказательство. Из теоремы 2.45 (i) мы знаем, что Qn (х) делит многочлен
