Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 50

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 371 >> Следующая

2Е. Отсюда заключаем, что Е может быть лишь одним из трех чисел: 2е, е
или е/2. Если число с делится на 4, то оба числа ей Е четны. Поскольку /
(ж) делит хе - 1,
! (--ж) делит (-х)е - 1 = Xе - 1, так что Е делит е. Аналогично
показывается, что с делит Е, значит, Е - е. Если число е нечетно, то
многочлен f (-ж) делит (-ж)* - 1 - -Xе - 1, а значит, делит хс f- 1. Но
тогда / (-ж) не может делить Xе - 1 н потому выполняется равенство Е =
2е.
Остается разобрать случай е - 2h, где h нечетно. Пусть многочлен f
является степенью неприводимого многочлена из Fg [ж]. Тогда f (ж) делит
произведение (хн - 1) (xh f 1), но не делит хн - так как ог^ ф = 2h.
Поскольку многочлены xh - 1 и xh + 1 взаимно просты, то / (ж) делнт xh +
1. Значит, f (-ж) Делит многочлен (-x)h + 1 - -xh + I, а следовательно, и
xh - 1. Это означает, что Е = с/2. Заметим, что по теореме 3.8 многочлен,
являющийся степенью неприводимого многочлена, имеет четный норядок в том
и только том случае, если сам неприводимый многочлен имеет четный порядок
(напоминаем, что характеристика ноля Fg предполагается нечетной).
116
Гл. 3, Многочлены над конечными полями
J
В общем случае пусть многочлен / имеет разложение f - ft ... fm
где fi =- gi\ bt ? SN, ) < i < &, и gu gk - различные непрда
водимые многочлены из Fg [ж]. Поскольку многочлены flt ..., Ж
попарно взаимно просты, то по теореме 3.9 имеем 2h Л
= НОК (ord (/Д, ..., ord (Д)). Это значит, что многочлены Я
можно так перенумеровать, чтобы ord (ft (ж)) - 2hi для 1 Я < i < / н ord
(ж)) - hi для j ф I < i <; k, где все числа щ
нечётны и НОК (&*, Ни) - h. На основании ранее доказанной
имеем ord (fi (-х)) - hi для 1 < i < / н ord (/* (-ж)) = 2ht длИ j + 1 ><
i ^ Поэтому в силу теоремы 3.9 получаем М
Е = НОК (hlt hj, 2hJ+u ..., 2hh)% 1
•щ
s ЙЛад
так что Е -, & - в/2, если / = к, и ? - 2h = в, если / < щ Это доказывает
последнюю часть теоремы. Щ
Из леммы 3.1 н определения 3.2 вытекает, что порядок много! члена степени
т 1 над Fg не превосходит числа qm - 1. Ук$|1 занная граница достигается
для важного класса многочленов а именно для примитивных многочленов.
Определение прнмнтиШ ного многочлена опирается на введенное в определении
2,9 понятий примитивного элемента. Jj
3.15. Определение. Многочлен f ? Fq [х] степени т 1 нщ зывается
примитивным многочленом над полем Рд, если он я" ляется минимальным
многочленом над Fg некоторого примитив ного элемента расширения р т поля
fg.
Таким образом, примитивный многочлен над Fg степени тнИ это нормированный
многочлен, который неприводим над Я и имеет корень а ? Fgm, который
является образующим мультщ плнкативной группы f*m поля Р^. Примитивные
многочлещй
над Fg можно охарактеризовать еще так: Щ
-
3.16. Теорема. Многочлен f ? Fg [ж] степени т являепщт примитивным
многочленом над Fg в том и только том случат если он - нормированный
многочлен, такой, что / (0) ф 0 Я ord (/) = $" - 1, ''Я
,'111
Доказательство. Если f - примитивный многочлен над ?:Щ то он -
нормированный многочлен, удовлетворяющий условий! f (0) ф 0. Поскольку f
неприводим над Fg, то нз теоремы З.Я н того факта, что его корнем
является примитивный элемейЯ расширения Рят поля Fg, следует, что ord (/)
= qm - 1. Я
Обратно, из условия ord (f) - qm - 1 следует, что т Я Далее, мы
утверждаем, что многочлен f неприводим над Р|1| Допустим, что он приводим
над Fg. Тогда либо f является пенью некоторого неприводимого многочлена,
либо он может быв представлен в виде произведения двух взаимно простых
многщ
§ !, Порядки многочленов и примитивные многочлены
членов положительной степени. В первом случае пусть / = где многочлен g.
? Fa U] неприводим над (Fg, g (0) Ф 0 и b 2. Тогда в силу тебремы 3.8
порядок многочлена J должен делиться на характеристику поля но qm - 1 не
делится на нее, и мы получаем противоречие. Во втором случае пусть f =
gxgt, где g1 и 8г - взаимно простые многочлены из fq [д: I положительных
степеней тг и т2 соответственно. Если et = ord (g*), i = 1, 2 то по
теореме 3.9 имеем ord (f) еге2. Кроме того, в силу леммы 3.1
et < (Г1 - К i - К 2, так что
ord (/) (qm" ~~ 1) (^m= - I) <- I = qm - I,
и вновь приходим к противоречию. Следовательно, многочлен f неприводим
над (Fg> и тогда из теоремы 3.3 и нормироваиности f мы заключаем, что f
~~ примитивный многочлен над (fa. ?
Заметим, что требование / (0) Ф 0 понадобилось лишь, чтобы исключить
случай неприводимого многочлена f (х) = х при q = 2 и т - 1. Другая
характеризация примитивных многочленов опирается на следующий
вспомогательный результат.
3.17. Лемма. Пусть j С (Fg 1х] - многочлен положительной степени,
удовлетворяющий условию f (0) ф 0. Пусть г - наименьшее натуральное
число, для которого степень хТ переменной х сравнима по модулю f (х) с
некоторым элементом из поля Fg, т. е. xr ~ a (mod / (х)), где элемент а С
FJ однозначно определен. Тогда ord (/) = hr, где h - порядок элемента а в
мультипликативной группе FJ поля
Доказательство. Положим е = ord (/). Так как хе = т: 1 (mod f (x))t то мы
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed