Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
получаем, что е >г. Поэтому можно написать е = sr -j- t, где s С N и 0 <
/ < г. Тогда
1 = хе •= == а*х* (mod/(*)), 1 (3.1)'
так что хг = crs (mod f (*)), и потому в соответствии с определением
числа г получаем, что / - 0. Из сравнения (3.1) тогда видно, что as _ 1
(mod f (х)), т. е. as - 1, и потому s > h и e^>hr. С другой стороны, xhr
= ан н I (mod / (*)), так что hr > е. Значит, е --- hr. ?
3.18. Теорема. Нормированный многочлен f С Fa [х 1 степени т > 1 является
примитивным многочленом над полем Fa в том и только том случае, если (-
l)wf(0) - примитивный элемент поля Ffl и наименьшим натуральным числом г,
для которого степень хГ переменной х сравнима по модулю f (х) с некоторым
элементом поля Fq, является
118
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
.'КЗ
Если f пае
примитивный многочлен над Fg, то имеет место срав
хг =
(-1)т / (0) (mod f (х)).
с 1^
Доказательство. Если многочлен f примитивен над Fg, то имеет корень а С
Гд"" который является примитивным элемент(r) поля Вычислив норму Np m/p (а)
с помощью определен#
2.27 и равенства (2.3) и замечая, что f- характеристически многочлен
элемента а над полем Fg, мы приходим к равенстйЦ
(- 1 )т f (0) =
(3.
< ад
Из него вытекает, что порядок элемента (-I)т f (0) в группе равен q - I,
т. е. (-l)m f (0) - примитивный элемент поля | Так как f - минимальный
многочлен элемента а над полем I то из теоремы 1.82 (ii) и равенства
(3.2) следует, что
xUm-0ht?-1) = ^-l)mf (0)(modf (х)),
так что г {qm - \)}(q - 1) Но из теоремы 3.16 и леммы 3.1ft| следует, что
ат - I - ord (f) < (q - I) г, так что г ^ Uf1 - \)/(q - I). Значит, г =
(qm - 1 )f(q - I).
Обратно, допустим, что условия теоремы выполнены. И равенства г = (qm - 1
)j{q- 1) и леммы 3.17 тогда следует, 4f числа ord (f) и q взаимно просты.
Из теоремы 3.11 в таком случ получаем, что многочлен / разлагается в
произведение f - fг различных нормированных неприводимых над Fg
•. :>У
ft, ..., ffe. Если пц = deg (ft), то ord (ft) делит qmi (на основании
следствия 3.4). Поскольку q-
i-j)
1
многочлен(r)
1, J < i <
делит ч ИСЛ(
d = (q
!)/(<?
1 J*-1.
то число ord (ft) делит d, I •< i k. Из леммы 3.6 следует, ч fi (х) делит
Xй - 1 для I < i так что многочлен f (х) дел Xй - I. Если k 2, то
d <(q
0/(<7 - О = {<T - !)/(<? - 1) = f,
Si" *5
что противоречит определению числа г. Таким и многочлен f неприводим над
f д. Если ? Fgm члена f, то рассуждение, аналогичное пр иведет к тому,
что (-l)m f (0) (mod f (х)).
образом, k " I - корень миога| пр вводящему к (3.2}$ pr _ так что
хТ =
А поскольку порядок элемент
(-f (0) в группе FJ равен q - 1, то из леммы 3.17 вытекает^ что ord (f) =
q(tm)- I, так что в соответствии с теоремой З.Ш f является примитивным
многочленом над Fa. Qi
3.19. Пример. Рассмотрим многочлен f (х) = х4 + х3 + х2 +
+ 2х + 2 ? Fs Ixl Так как f неприводим над полем Fs, то*
Mil
§ 2. Неприводимые многочлены
119
применяя метод, изложенный после теоремы 3.11, получим, что ord (/) - З4
- 1 =80. Следовательно, f - примитивный многочлен над Fa (по теореме
3.16). В соответствии с теоремой 3.18 = 2 (mod f (*)). ?
§ 2. Неприводимые многочлены
Напомним, что многочлен / ? Fg [х 1 неприводим иад полем Fg. если он
имеет положительную степень и любое его разложение на множители в кольце
Fg Ы обязательно содержит постоянный многочлен (см. определение 1.57).
Простейшие свойства неприводимых многочленов были рассмотрены в § 2 гл.
2.
3.20. Теорема. Для каждого конечного поля Fg и каждого п ? 1N
произведение всех нормированных неприводимых многочленов над Fg. степень
которых делит я, равно х^п - х.
Доказательство. По лемме 2.13 каноническое разложение
многочлена g (х) = - х в кольце Fg [х ] содержит те и только
те нормированные неприводимые многочлены над Fg. степень которых делит
число п. Так как gf (x) = -1, то из теоремы 1.68 вытекает, что многочлен
g в его поле разложения над Fg не иМеет кратных корней, так что каждый
нормированный неприводимый многочлен над Fg, степень которого делит я,
встретится в каноническом разложении многочлена g в кольце Fg [х] ровно
одни раз.
D
3.21. Следствие. Если Nq (d) - число нормированных неприводимых
многочленов из Fg lx 1 степени d, то
qn - ? dNq (d) для всех п ? IN, (3.3)
d\n
г
де сумма берется по всем положительным делителям d числа п.
Доказательство. Тождество (3.3) получается из теоремы 3.20
сопоставлением степени многочлена g (ж) = х?п - х с полной степенью
канонического разложения многочлена g (х) на неприводимые сомножители.
?
Используя элементарные сведения из теории чисел, мы можем получить из
формулы (3.3) точную формулу для числа нормированных неприводимых
многочленов фиксированной степени из кольца Fg \х]. Для этого потребуется
одна арифметическая
функция, называемая функцией Мёбиуса, которая определяется
так:
sK
120 Гл. 3, Многочлены над конечными полями
WMirw мпг
3.22" Определение. Функцией Мёбиуса называется функция ц на множестве N,
определяемая равенствами
