Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
din din
п/d
\х (d
¦ S3 *.<
¦M
§ 2, Неприводимые многочлены 123
11-^мв^**^ымшмм*^на^ММ
Доказательство. Из теоремы 3.20 следует, что
д/1 - ? z= П / ({/, d; х),
d I n
Применяя теперь мультипликативный вариант формулы обращения Мёбиуса к
мультипликативной группе G ненулевых рациональных функций над
полем Тд и полагая h (я) = / (<?, п; х)
и Я (я) = xf - х для всех я ? N, мы получим требуемую формулу. *
?
3.30. Пример. Для q ~ 2, я = 4 получаем
/ (2, 4; лг) - (х1в - х)ц (х4 - дг)*1 {2) (ха - <4> =
_Х(tm) - Х _ х(tm)- 1 _
д:4 - д: д:3 - I "
= х12 -|- X9 + X6 + X3 + 1. ?
Все нормированные неприводимые многочлены степени я из Fg ЬН можно найти,
разлагая на множители многочлен I (д, я; х). В этой связи было бы полезно
представить I (q, п; х) в частично разложенном виде. Это достигается с
помощью следующей теоремы.
3.31. Теорема. Пусть I (<?, я; х) то же, что и в теореме 3.29. Тогда для
натурального числа я У> 1 имеет место формула
I (<7, я; х) = П Qm (ж), (3.8)
т
где Qm (ж) есть т-круговой многочлен над Fg и произведение берется по
всем натуральным делителям т числа qn - I, для которых я является
показателем, которому принадлежит число ц по модулю т.
Доказательство. Для я У> I пусть S - множество элементов поля рдТг,
которые имеют степень я над полем (Fg. Тогда каждый элемент сс ? S имеет
минимальный многочлен степени я над Fg н, таким образом, является корнем
многочлена / (qt я; х). С дру* гой стороны, если р - корень многочлена /
(q, я; ж), то он в то же время является корнем некоторого нормированного
неприводимого многочлена степени я из fa [ж], а это значит, что р ? S.
Поэтому
/ (<?, я; ж) - П (ж - сс).
Ьслц а ? S, то сс ? и, значит, порядок элемента ос в этой
мУльтипликативной группе делит число ф1- 1. Заметим, что элемент у ? [Р*и
является элементом какого-нибудь собственного
^ j
подиоля Fgd поля FgTj в том и только том случае, если у? = у,
124
Гл, 3. Многочлены над конечными полями
Bh^A*pwivAV#d (.1 • ^^АУ|*К>лй
-1ГУ ' '["iiVH- '
I
ti I Ж
ы, н меющих ..
4 $
т. e, если порядок элемента у делит число qd - L Поэтому поря- J док т
элемента а из S должен быть таким, чтобы и было наимень- * шим
натуральным числом, таким, что дп ¦¦¦¦¦¦ 1 (mod т), т. е. чтобы': п было
показателем, которому принадлежит q по модулю т. Для ;
положительного делителя т числа qn - 1 с таким свойством пусть
5т будет множеством элементов порядка т из 5. Тогда S является
объединением непересекающихся подмножеств 5Ш.Г так что можно написать
П (X -а).
m а ? Sm
Множество 5т состоит из всех элементов группы
порядок т. Другими словами, Sm множество первообразных!
корней т-й степени нз единицы над fg. Тогда из определения-'^ круговых
многочленов (см. определение 2,44) следует, что
П
а p. S
и тем самым формула (3.
3.32, Пример. Найдем все (нормированные) неприводимые мно сочлены степени
4 из кольца. IFS Uj. Ия равенства (3.8) следует,: J что / (2, 4; х) - Qb
(х) Qlh (х). На основании теоремы 2.47 (и) круговой многочлен Qs (х) - х4
+ х3 4 ха + х 4- 1 неприводим в l.r). По той же теореме круговой
многочлен Q1S {х) разлагается в произведение двух неприводимых
многочленов из f2 [х| степени 4. Поскольку Qa (х --{¦ 1) - х4 + х3 -f 1 -
неприводимый ..о многочлен из F2 lx I, этот многочлен должен делить Qu
(л), так/f что
(х - а) : Qm М,
т
установлена
Qib W "¦¦¦" л8 !-
¦5
г*
4- 1 -- (х4 + X3 +
"М
(х4 + х -|- 1).
Поэтому неприводимыми многочленами степени 4 нз
t. Г
ляются х4 -|- .у8 + х2 4 х и только они.
X
X
3
и
X4
X
яв-
г 1-
¦ т
S *!!"¦
Неприводимые многочлены часто возникают как минимальные! многочлены
элементов какого-нибудь расширения ноля, Минн*:|
мадытые многочлены были введены определением 1.81, а их основ-(|
иые свойства были установлены теоремой 1.82. Теперь примени-! тельно к
конечным полям мы отметим наиболее полезные факты | о минимальных
многочленах.
щ
3.33, Теорема, Пусть а - некоторый элемент, из расширения $
степень элемента а над Fqf a g Q 1
Тогда
qm поля (Гд, и пусть d
дччиш
минимальный многочлен элемента а над
?Tqlx]-
(i) Многочлен g неприводим иад число т.
ч
и
степень d делим*
.. fm • & •
1
§ 3. Построение неприводимых многочленов
125
$1^
(и) Многочлен / С Fq [х] удовлетворяет условию /(а) = О тогда и только
тогда, когда многочлен g делит /.
(iii) Если f - нормированный неприводимый многочлен из {рг/ [х], такой,
что f (а) = 0, то / = g.
(iv) g (jc) делит многочлены х^ - х и хЛт - х.
(v) Корнями многочлена g (х) являются элементы а, а...
причем g (х)-минимальный многочлен над Тя каждого аз этих элементов.
(vi) Если а Ф О, то порядок многочлена g равен порядку элемента а в
мультипликативной группе F*m поля Т т-
(vii) g является примитивным многочленом над полем Fq тогда и только
тогда, когда порядок элемента а в группе
равен cf1 - 1.
Доказательство, (i) Первая часть вытекает из теоремы 1.82 (i), а вторая -
из теоремы 1.86.
(ii) Это утверждение следует из теоремы 1.82 (ii).
