Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
i, еслн п = 1, j
У если л - произведение & различных простых j
р. (я) = | чисел, I
0, если п делится на квадрат некоторого про- j
стого числа.
Когда в формуле (3.3) мы использовали символ суммирования 2, это
означало, что сумма распространяется ш все положи-1
d\n ' ;!
тельные делители d числа п ? N. Удобно использовать аналогичный символ и
для произведения: П,
d\n I
щ
3.23. Лемма. Для я f N функция Мёбиуса удовлетворяет |
соотношению 5
"•>
" , (1, если п - К
j] II (У) ¦¦= j
[и, если п > 1.
Доказательство. Для я > 1 мы должны принимать во внима- |
ние лишь те положительные делители d числа л, для которых ! р (d) Ф 0" т.
е. для которых или d -¦= 1, или d является произве- | дением различных
простых чисел. Таким образом, если рх, ..., ph-j различные простые
делители числа л, то 'т
к
I
$
ш
к5
Д?
I
23 !*¦ И) = I* (О + Е!' (pi) т Е и (Pi,ро -f
d\n
¦ * * T- p(pi ... Pk) ^
= 1 ~f (j j (-1) + (2) (~(tm)T)2 -f- -. ¦ -i- ft) (-1)* - It + I)]* =
0.
¦; $ J
¦IS
I
Случай же n -- 1 тривиален. ?
3.24, Теорема (формула обращения Мёбиуса).
(i) Аддитивный вариант. Пусть h и Н - две функции из j множества N
натуральных чисел в некоторую абелеву группу О с аддитивной записью.
Тогда равенство
И (л) - ? h (d) для всех п. ? М (3.4)
d\n
выполняется в том и только том случае, если выполняется равенство
h (л) - У! р (---) Н (d) - У* р (я) Н (~у~) для всех п ? N.
4 I п d I п
(3:
§ 2. Неприводимые многочлены
121
(И) Мультипликативный вариант. Пусть h и И -¦ две функции из множества IN
натуральных чисел в некоторую абелеву группу G с мультипликативной
записью. Тогда равенство
И (п) = П h (d) для всех п ? N (3.6)
d I п
выполняется в том и только том случае, если выполняется равенство
h (п) = П Н (d)>* ("/''> = П Я (ir)1*<di для *** п € N.
d \ п d \ п
(3.7)
Доказательство. Предполагая выполненным равенство (3.4) и используя лемму
3.23" получим
?1* (-f) Н(d) = ? ц (d)н (-f) = ? ^ (d) 2 Л(С) =
й\п d\п dIп
**
= 2 S ЦЙ(с) = SЛS И<0 = А(п)
с | rt |_я_ с \ п | п
I с
для всех п ? IN. Обратное утверждение доказывается аналогично.
Доказательство части (ii) сразу же получается из доказательства части (i)
заменой сумм произведениями" а кратных - степенями,?
3.25. Теорема. Число Nq (п) нормированных неприводимых многочленов
степени п в кольце [х ] задается формулой
N"{n) = "Г 2 Р {-т) = 1Г 2 (^Чп'л-
d\n й | п
Доказательство. Применим аддитивный вариант формулы обращения Мёбиуса к
группе G - Z - аддитивной группе целых чисел. Пусть h (n) = nNq (п) и Н
(п) = tf для всех п ? N. Тогда формула (3.4) справедлива ввиду равенства
(3.3), и из (3.5) полу-ч а ем тр ебуемую фор мулу. ?
3.26. Пример. Чиело нормированных неприводимых многочленов степени 20 в
кольце [х\ равно
(20) = -др 1ц (1) + И (2) + и (4) f + ц (5) 9* +
+ ц (10) <7а + ц (20) q] =
1 (qw - <710 - ql + f). ?
20
i:
122
I л. 3, Многочлены над конечными полями
лл^гллл^тЛЛ! Л . ¦". I 1^.^^.. ,,, л-.. - . I U^-bW-S ¦.ч^и^ИНИИУ^.
I-^^I i^"" ' *¦ * ¦ "*^4' НИИ" I I МЛД&иЬ^Ш^М! ¦¦¦¦ !
! I ¦^¦Т-<-у^ |Ушлш"Я !¦ ги I f
41ХШШ>Н
Следует отметить, что из формулы теоремы 3,25 можно получить еще одно
доказательство существования хотя бы одного неприводимого многочлена
степени п в кольце fq [х] для любого п ? N и любого конечного поля (ср.
со следствием 2.11). | А именно, учитывая, что р (1) = 1 и р (d) "> -1
для всех d ? N, получаем
N" (я) > -
<п
у л, - \
s* fp
rrh
п
Я
1
¦,fiKVpX-X-4b>J
П
П
Я
\
к f
q
о.
В качестве другого применения формулы обращения Мёбиуса получим явную
формулу для п-кругового многочлена Qn (а).
3*27. Теорема. Для поля К характеристики р и натурального числа пне
делящегося на р, п~ круговой многочлен Qn (х} над Д ] задается формулой
¦I
М
:Я.
Qn (х) -== п
d ! tl
й
1 )Ц OPd) |~| ^xnfd \yi (J)
d ! n
I
/Ш
M
Доказательство. Применим мультипликативный варианд формулы обращения
Мёбиуса к мультипликативной группе G J ненулевых рациональных функций над
нолем К. Пусть h (п) - j Qn (х) и Я (л) "¦¦¦ - ! для всех п ? М. Тогда из
теоремы
2.45 (0 вытекает справедливость формулы (3.6), а из (3.7) полу-чаем
требуемый результат.
3.28. Пример. Для полей К, для которых определен круговой
многочлен QUJ получаем
Qi*(x) - П (ХЩ* - !)*<*>
й 1 S2
12
1)М Е) | |ц (2) ^ |)Ц, (Л) ^3 __ |^Ц (4> .
.{*а_ [)ii (ср(х Пя(12) ^
1)(*(r)' -1)
¦ ¦¦¦,, | ,1 ^111 ¦ 1И ^П1>ч"' •
1) (JC* 1) ~
Лу ' '• JCj •'бй
•yV
*
А'
-j
Явную формулу из теоремы 3/27 можно использовать длй-вывода основных
свойств круговых многочленов (ср. с упр. 3,35)* В теореме 3.25 мы
определили число нормированных неприводимых многочленов данной степени п
в кольце fq [х\. -Теперь получим формулу для произведения всех
нормированных неприводимых многочленов данной степени п из кольца fq \х].
3,29* Теорема, Произведение / Up п; х) всех нормированных неприводимых
многочленов степени п из кольца [х I задается формулой
Ж
•Ю/сЯ
i л -тй
щ
•Щ
J.wtf
/ (q, п: х) - П (х^ х)Мп/'° - П (дУ
