Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 55

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 371 >> Следующая

теоремой 3.5 нормированный неприводимый многочлен степени т и порядка е >
2 в кольце F(J Ex] существует лишь тогда, когда т является показателем,
которому принадлежит число q по модулю е, и в таком случае М = ц> (е)!т.
По лемме 3.34 показатель, которому принадлежит число q по модулю et,
равен mi у и так как из формулы, указанной в упр. 1.4 (с), вытекает, что
ф (et)!mt - ф (е)!т, то число нормированных неприводимых многочленов
степени mt и порядка е( в кольце Fg [х] тоже равно N. Поэтому остается
показать, что каждый из многочленов fj (хО, 1 < / < ЛГ, неприводим в Fq
Ех] н имеет порядок et. Так как корнн каждого многочлена fj (х) являются
первообразными корнями степени е нз единицы над Fq (по теореме 3.3) то fj
(х) делит круговой многочлен Qe (х) над fq. Но тогда многочлен fj (х*)
делнт Qe (хО, н повторное использование свойства, указанного в упр.
2.57(b), приводит к равенству Qe (х*) Qet (х), Таким образом, многочлен
f} (х*) делнт Qet (х). По теореме 2.47(E) степень каждого неприводимого
делителя многочлена Q& (х) в [х 3 равна показателю, которому принадлежит
q по модулю et. Этот показатель равен mt. Так как многочлен fj (xf) имеет
степень mt, то он неприводим в кольце lFq Ех]. Кроме того, поскольку fj
(хО делнт Qei (х), то порядок многочлена fj (х*) равен et. ?
128 Гл.. 3, Многочлены над конечными полями
I
>
¦*|lf • I i,i^h'lm ПЧТПИ**МЧ _ ||i*H I >'i~i'i'h'i¦ Г11|МI I I
• if
3,36, Пример. Неприводимыми многочленами степени 4 и по j эядка 15 в
кольце 1x1 являются х4 4- х 4- 1 и х4 -f Xs 4- I.j Поэтому по теореме
3.35 неприводимыми многочленами в f2 fxlj степени 12 и порядка 45
являются х12 + х3 + 1 и х15 4-х9 4- 1.J А неприводимыми многочленами в
[Р2 [ж] степени 60 и порядка 225 ^ являются хт 4- х1'1 4- 1 и хт д х45 4~
1 - Неприводимыми многочленами о IFа [х 1 степени 100 и порядка 375
являются х100 -f-1 + х35 -f- 1 и Ало,) 4~ х75 4- Е ? )
я
А
Случай t н 0 (mod 4) н qm ж. 3 (mod 4) не охватывается тёо-1 ремой 3,35.
Здесь должно быть q = 3 (mod 4) и нечетное т. Ре- | зультат, относящийся
к этому случаю, сложнее, чем теорема 3.35. J
3*37. Теорема. Пусть }г (х), fN (х) - все различные норма рованные
неприводимые многочлены из !Гд fx] нечетной степени т и порядка ее Пусть
q -¦¦¦¦¦ 2° и - 1 и t - 2bvy где а и Ь > 2 - целые, щ а и, v - нечетные
числа и при этом все простые делители числа Щ делят е, но не делят {qm
\)!е. Пусть k наименьшее из чи4*Ц сел а и Ь. Тогда каждый из многочленов
/у (.4) разлагается в произ-М ведение 2Й"~! нормированных неприводимых
многочленов Sa 0)1 из !fg [х] степени mt'2'~k. Указанными 24-1 N
многочленамиgij (д исчерпываются все различные нормы рованные
неприводимые многоЩ члены из Fq [х] степени mt2l'~k и порядка ei. Ц
ж"
¦ :Л№
¦срт
" -'4
Доказательство. Если v 3, то из теоремы 3,35 следует, чтрщ fi (х?), Ду
(xt!) - все различные нормированные неприводимые!?1" многочлены из fq 1х)
нечетной степени tnv и порядка ev, ТакиЩ образом, мы сводим вопрос к
рассмотрению лишь одного случай#'
/-24 *
Итак, пусть / -¦¦¦¦¦¦¦¦¦ 2Ь. Заметим, что здесь точно так же, Kafif и в
доказательстве теоремы 3.35, устанавливается, что т - пока*:^ затечь,
которому принадлежит число q по модулю е, N = ф {ё)1т^ и каждый многочлен
f} (хг) делит Qei (х). По теореме 2.47 (НКЦ круговой многочлен Qei (х)
разлагается в произведение различ ных нормированных неприводимых
многочленов из fq [х ] сте* ч пени dt где d - показатель, которому
принадлежит число но модулю et. Так как qd ~ 1 (mod et), то qd = 1 (mod
в) и, зна-j чит, т делит й. Рассмотрим сначала случай а /> Ь. Тогда фт -4
-. 1 (tm) (^ - 1) -j- I), н первый сомножитель делится на е* а второй
делится на t, поскольку нз q л - I (mod 2а) следу@Щ| q л -! (mod /), так
что qm = (-l)m л: -I. (mod /}. ТакнйГ образом, qlm л 1 (mod et), поэтому
число d может быть равй#! только т или 2т. Если d - m, то qm ~ 1 ((mod
ei), откуда qm Щ;
1 (mod t), что невозможно. Таким образом, d ¦- 2m - т2ь~к^Щ так как в
этом случае к = Ь. -й
§ 3. Построение неприводимых многочленов 129
Теперь рассмотрим случай а < Ь. Индукцией по ft доказываем, что для всех
ft С IN
qm2h = J -j- w2a+h (mod 2a+ft+1), (3,9)
где w - нечетное число. Для h = 1 получаем
q2m = (2cw - 1 fm =
2/71
= 1 - 2a+1um -f 2] (2^) (- l)2m~n 2псн" =
n=2
= 1 + w2a+l (mod 2a+2),
где = -um. Если (3.9) выполнено для некоторого ft С IN, то для некоторого
с ? Z
qm2h - j ^ w2a~^fl -I- c2a+fc+1'
Это значит, что
9 i
дтФ+1 - -[-c2a+^+3)2 " 1 4- ш2я+й+1 (mod 2a+ft+2),
г, таким образом, доказательство формулы (3.9) завершено.
Полагая в (3.9) h - b - а -4 1, получим, что <у"2ь-а+| =
1 (mod 2Ь+'). Кроме того, из qm = 1 (mod е) следует qm2b~a+l =
: 1 (mod е) и, значит, qm^a^A - 1 (mod L), где L = НОК (2М-1, е). Здесь
число е четно, поскольку все простые делители числа t делят ел однако е Ф
0 (mod 4), так как qm = 1 (mod е) и qm =
¦ 3 (mod 4). Поэтому L - е2h - ei, и, значит, qm&~a+l = ¦: 1 (mode^). С
другой стороны, полагая в (3.9) h = b - а,
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed