Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
поле L. Зга ситуация обобщается
следующим легко проверяемым результатом. 1
1.89, Теорема, Пусть а и р - два корня многочлена f (Й ? К U1, который
неприводим над полем К. Тогда простые расй ширения К (а) и К (Р)
изоморфны, причем изоморфизм осущестщ вляется отображением, переводящим
элемент а в р и оставляю щим неизменными элементы поля К- I
Теперь займемся такими расширениями поля /С, которыщ| принадлежат все
корнн некоторого заданного многочлена над /ц!
1,90. Определение. Пусть многочлен f ? К [х] имеет полой жительную
степень, и пусть F - некоторое расширение поля Тогда говорят, что
многочлен / вполне разлагается (split) в поле F3 если f можно записать в
виде произведения линейных сомножитеД
ля мят W Л мят
где а -старшин коэффициент многочлена f. Поле F называете#! полем
разложения многочлена f над полем К, если f вполне разлаЛ гается в поле F
и, кроме того, F ~ К (ось а^). I
ляется наименьшим нз полей, содержащих одновременно,К и веш корни
многочлена /, в следующем смысле: никакое собственней подполе поля F,
являющееся расширением поля К, не может содерЦ жать всех корней
многочлена f. Повторным применением прД цесса, описанного в теореме 1.87,
можно получить первую nacfig следующего предложения. Вторая часть
является обобщений теоремы 1.89, -Ц
1.91. Теорема (существование и единственность поля разлей жения). Если К
- некоторое поле и / - многочлен положителЩ ной степени из К 1х], то
существует поле разложения многочленсШ над К¦ Любые два поля разложения
многочлена f над К изоморфитJ и соответствующий изоморфизм оставляет
неизменными элеменщш поля К и осуществляет некоторую перестановку корней
Поскольку изоморфные поля можно отождествить, мы можё| говорить о вполне
определенном поле разложения многочлена j над полем К. Оно получается
присоединением к полю К конечной числа алгебраических над К элементов, и
потому (как можЙ| показать на основании теорем 1.84 и 1,86 (ii)) поле
разложенщ многочлена f над f( является конечным расширением поля /Cj
Чтобы продемонстрировать полезность полей разложений воспользуемся имн
для решения следующей задачи: как выяснит!
лей из F [л:], т. е. существуют такие элементы аь ? F, чт
f (х) = а (х - aj ... (х - ап),
Ясно, что поле разложения F многочлена f над полем К я%|
члена f.
§ 4, Расширения полей
53
имеет или нет данный многочлен кратные корни (см. определение 1.65)?
1,92. Определение. Пусть f ? К 1х] - некоторый многочлен степени п > 2, и
пусть f (х) - а^(х ~~~ах) ... (х - ап), где аъ ... ..., "п - элементы
поля разложения многочлена f над полем К. Тогда дискриминант D (})
многочлена f определяется так:
D ф = ао"~2 П (аг - а-f.
Из определения D (f) ясно, что многочлен f в том и только том
случае имеет кратный корень, когда D(f) - 0. Заметим,
что
дискриминант D(f)t хоть он и определяется через элементы рас-ширения поля
/С, на самом деле является элементом самого поля К. Для небольших п это
можно показать простым подсчетом. Например, если п - 2 и f (х) = ах2 + Ьх
+ с = а (х - ах) (л: - а2), то
D(f) - а2 (ах - а2)2 = а2 ((ах -f а2)2 - 4ata2) =
- а2 (Ь2а~2 - 4Ш"1),
откуда получается выражение, хорошо известное из теории квадратных
уравнений;
D(ax2 + Ьх с) = Ь2 - 4ас.
Если п = 3 и f (х) = ах3 + Ьх2 + сх + d = а (л; - аД (л; -
а2) (х - аэ), то
D(J) = a* ("i - "а)2 ("1 - "э)2 ("2-"з)2.
и несколько более сложный подсчет показывает, что
0(ахэ + Ьх2 + сх + d)
_ ?2^2 - 4^3^ - 4^3 - 21 a2d2 + 18 abed. (1.9)
В общем случае рассмотрим сначала многочлен s ? К 1хи ... хп], заданный
выражением
S(xb . . ., Хп)- П (ДГ( - X/)2.
Тогда очевидно, что s - симметрический многочлен, и по основной теореме о
таких многочленах (см. пример 1.74) его можно представить в виде
некоторого многочлена от элементарных симметрических многочленов сгх, оп
с коэффициентами из поля К: s = А (аь ..., ап) для некоторого h ? К lxlt
..., хп]. Если
f (х) - а0хп Д- а^~х + ... Д- ап = а0 (х - аД ... (х - ап) ? К [дг],
то из определения элементарных симметрических многочленов (см. снова
пример 1.74) вытекает, что
а") = (- 1)*a*ao~' ? К, 1
54
Гл. 1. Алгебраические основы
Таким образом, D(f) = s(alt
- h (-aiao
otn)
" *
Л(аг(а1( ..ап),
(- 1)падГ') ? К.
* ¦ ¦ г (r)п)) ^
т
Так как D (J) ? К* то возникает мысль, нельзя ли подсчитать дискриминант
D (/), не переходя к расширению поля К. Оказывается , это можно сделать,
воспользовавшись понятием результанта. Заметим сначала, что если
многочлен / ? К Ы зада1| в виде / (х) = а$хп + агхп~{ + ... + anf то мы
ие исключаем возможности равенства нулю коэффициента а0, так что
натуральное число п не обязательно'является степенью многочлена /. В
таком случае мы будем называть число п формальной степень^ё многочлена f*
формальная степень п всегда не меньше настоящей степени deg (f).
1.93. Определение. Пусть f (х) = а$хп + аххп-х + ... + ап Q ? К Ы И g (х)
= bQxm + Ьххт~1 + ... + bm ? К [x] - два многочлена с формальными
степенями п и т соответственно, п, m ? N. Тогда результант R (f, g) этих
