Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
1 ? F [х j взаимно просты и не являются постоянными одновременно, то
существуют многочлены a, b ? F [х], такие, что deg (а) < deg (g), deg
(fr) < deg (/) л af + bg - 1.
1.21. Пусть для многочленов flt fn ? F Jx], где F - поле, ИОД (Д, ...
¦ fn) - так что ft - dgi, где g-t ? F [x], t = 1, ..., п. Доказать, что
много-j злены glt ..., gn взаимно просты. j
1.22. Доказать, что для многочленов Д, ..., fn ? F (х], где F- поле % ^
3, справедливо соотношение
НОД (h, ...,/") = НОД (НОД (f, ил, U).
Упражнения
61
1.23. Пусть F - поле и /, g, h ? F [х]. Доказать, что если f
делит gh и
НОД (/, g) = О то / делит Л.
1.24. Применяя алгоритм Евклида, найти НОД (/, g) для следующих
многочленов / и g с коэффициентами из указанного поля F:
(a) Р = Q, / (х) = х7 + 2х5 -f- 2х2 - х + 2, g (х ) = х6 - 2ха -
х4 -J- х2 -J-
2х Д- 3;
(b) F - IF" / (х) = х7 + 1, g (х) -¦ Xs + х3 + х + 1;
(c) F - !Г2> Их) - х6 + x-f 1, g (х) - х6 Д- х6 + х4 + 1;
(cl) F = 1F3, / (х) = х& + 2х5 Д- х3 Д- хг Д- 1, g (х) = 2х° Д- х5
Д- 2Х3 Д-
2х2 Д- 2.
1.25. Пусть И ./п ¦-ненулевые многочлены из F [х], где F - пате, Доказать
существование и единственность нормированного многочлена ш ? ? F [х]
со свойствами наименьшего общего кратного многочленов /у, ...,
fn.
(Указание. Рассмотреть пересечение главных идеалов (/Д П П (/а)-)
1.26. Доказать соотношение (1.6).
1.27. Пусть F - поле и /у, fn ? F [х] - ненулевые попарно взаимно
простые многочлены. Показать, что НОК </,> ..., fn) - a~lh • ••
/ть где а ~~ стар-
ший коэффициент многочлена /у ... fn.
1.28. Доказать, что для многочленов •••> fn ? F [х], где F - пате и я ;>
3, справедливо Соотношение
НОК (h.............fn) = НОК (НОК (h, ..., fn-ih fn).
1.29. Пусть F - поле, fu ...,fn ? F [x] - ненулевые многочлены и для
каждого fi, задано каноническое разложение
j Г7 еПр)
fi - di 11 рг ,
где a-i ? F, произведение распространяется на все неприводимые
нормированные многочлены р нз F [х ] и ег- (р) - неотрицательные целые
числа, причем для каждого ( строгое неравенство ^ (р) >• 0 выполняется
лишь для конечного числа многочленов р. Для каждого р положим т (р) -
rain (ег (р), ..., еп (p))t М (р) - - тах(ех(р), ..., еп(р)), Доказать,
что
Н0Д(/,........../п) =-Г1 рт(р). Н0К(Ь, Д) = ПрЛ1(,,).
1.30. Метод Кронекера нахождения делителей степени непостоянного
многочлена / ? Q [х] состоит в следующем.
(1) Можно считать, что / ? Z fx ] (учитывая возможность умножения
многочлена / на константу).
(2) Возьмем s Д- 1 различных чисел ..., as ? Z, ие являющихся корнями
многочлена и для каждого i, 0 ^ i ^ s, найдем все делители числа f (я^).
(3) Для каждого (s Д- 1)-иабора (bQt ..., ЬЛ, где bi -делитель числа f
(a-i), 0 ^ i ^s, найдем такой многочлен g ? Q [х], чтобы deg (g) н g (а{)
= bi,
(например, используя интерполяционную формулу Лагранжа нз теоремы 1.71).
(4) Выясним, какие нз этих многочленов g являются делителями исходного
многочлена Если deg (/) = " ^ I и s - наибольшее целое число, не
превосходящее п/2, то многочлен / неприводим в кольце Q [х] в том случае,
когда указанный метод выявляет в качестве делителей f лишь постоянные
многочлены g. В остальных случаях метод Кронекера обязательно приводит к
нетривиальному разложению многочлена /.
Применяя затем тот же метод к полученным сомножителям и повторяя этот
процесс, мы получим в конце концов каноническое разложение многочлена / в
кольце Q [х].
Использовать указанную процедуру для нахождения канонического разложения
многочлена
f (x) = ~-xe--|-x3-f 2^-^-f 5х2 J-X- 1 е Q[xJ.
3
62 Гл. i. Алгебраические основы |
•VI
•И!
1.31. Построить таблицы сложении и умножения для факторкольца! F2 [х]/(г3
4~ дс* _дс). Определить, будет ли это кольцо полем.
1.32. Пусть [х4~ 1] - класс вычетов многочлена х-\- I в фактор кольце
.•¦ft •/Ч
'$?¦
7$
Fa [х]/(х44- I)- Найти классы вычетов, составляющие главный идеал (Г* +
11)> в указанном факторкольце.
1.33. Пусть F- поле и а, Ь, g ? F [х], причем g Ф 0. Доказать, что!
сравнение af ^ b (mod g) имеет решение / ^ f [г] тогда и только тогда,
когда|| НОД {ct, g) делит многочлен Ь. |
1.34. Решить сравнение (хг + 1) f (х) ^ 1 (mod 1)) в Fa |х],
если это
возможно.
1.35. Решить, если это возможно, сравнение
(х4 + х3 + х* + 1) f (х) =хг| 1 (mod (.v3 + 1)) |
'w
в F2 [х].
1.36. Доказать, что факторкольцо R [xj/fx4^ х3 4~ х + 1) не может полем,
каким бы нн было коммутативное кольцо R с единицей.
1.37. Доказать, что если F - поле, gx, ^ - произвольные, a flt ..., /д
ненулевые попарно взаимно простые многочлены из F [я], то система
сравнена#! h = gi (mod ^), i - 1, ..., k, имеет единственное решение h ?
F [x\ по мо-1 дулю / = ft ... fk (китайская теорема об остатках для
кольца F [дс]). '1
1.38. Подсчитать / (3) для многочлена $
Ж
•.JSS
/ (х) = х214 + Зх152 + 2х*7 + 2 € F5 [*Ь
?
|.Я
*
V'
¦&L
¦лй
'41
1.39. Пусть р - простое число, а0, ...> ап ? Z н р не делнт ап. Показать,
что сравнение а0 + ciiу-\- ...фапур ~ 0 (mod р) имеет не более п
