Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
делится на (х - Ь)к, но не делится на (х - - b)k+l. При k -- 1 корень Ь
называется простым, а при ? > I -
1,66. Теорема. Пусть / 6 Е (х) и deg (/) = п ^ 0. Если blt Ьщ 6 ^ -
различные корни многочлена [ соответственно кратностей klt ..., Am, mo /
делится на произведение (х -Ьх)к* ...
... (х - 6т) т. Следовательно, ~f ... 4- л ы многочлен f может иметь не
более п различных корней в поле F.
Доказательство. Заметим, что каждый многочлен х - bjt
1 < / ^ т. неприводим над F, так что (х - fry) входит в качестве
сомножителя в каноническое разложение многочлена {. Таким образом, в это
каноническое разложение входит произве-
ь ь
дение (х - Ьг) 1 ... (х - Ьт) тУ н, следовательно, оно является делителем
многочлена /. Сравнивая степени, получаем, что k± +
1 ... + km ^ п, и неравенства т kx 4- ••• + Кп ^ п доказывают последнее
утверждение. ?
1*67, Определение. Производной многочлена / = / (х) =
= а0 а^х 4- а2х2 + ... -f апхп С F \х] называется многочлен /' ^ р (х) =
аг 4* 2а2х -}- ... + папхп'~1 6 F 1x1.
1.68. Теорема. Корень b ? F многочлена / ? F fx] является кратным тогда и
только тогда, когда одновременно является и корнем производной f
многочлена /.
Существует связь между несуществованием корней и неприводимостью. Если f-
неприводимый многочлен из F [х] степени >2, то, согласно теореме 1.64, он
не имеет корней в поле F. Обратное справедливо для многочленов степеней 2
н 3, но вовсе не обязательно для многочленов более высокой степени.
1.69, Теорема. Для неприводимости многочлена f С F [х] сте* пени 2 или 3
в кольце F [х! необходимо и достаточно, чтобы он не имел корней в поле F.
*
Доказательство. Необходимость этого условия уже отмечалась выше, С другой
стороны, если многочлен f не имеет корней в поле F, но приводим в кольце
F [х ], то его можно записать в внде /Л" Ф, где g, h С F Гх] н 1 < deg
(g) < deg (h). Ho deg (g) + i- deg (h) (tm) deg (/) < 3, откуда deg (g) - 1.
Значит, g (x) =
- ax -f b, где a, b С Ft а ф 0. Но тогда элемент -ba'1 является
44
Гл. I, Алгебраические основы
корнем многочлена gt а значит, и многочлена / в F, что противоречит
предположению, Q
1.70. Пример. Пользуясь теоремой 1,69, можно найти неприводимые
многочлены степеней 2 и 3 в кольце f2 исключая из полной совокупности
многочленов соответствующей степени, при-*, надлежащих данному кольцу, те
многочлены, которые имеют корни в поле 0V Этим путем легко убедиться, что
в кольце [х] имеется всего один неприводимый многочлен степени 2, а
именно f (х) - = х2 + х + 1, и два неприводимых многочлена степени 3: fx
(х)
= X3 + X + 1 и (х) = X3 + X2 + 1. п
В математическом анализе хорошо известен метод построения многочлена с
действительными коэффициентами по его значениям в заданных точках. Этот
метод применим и к многочленам над произвольным полем.
1.71. Теорема (интерполяционная формула Лагранжа). Пусть п > 0, и пусть
Оо, -различные и Ьй, blt .... b
w ' У ' J ъУ V ' Л р ^ J " U * X * 7
- /У
произвольные элементы поля F. Тогда существует в точности odufi многочлен
f ? F \х] степени < п, такой, что f (at) = bt для i - 0, 1, ..., п. Этот
многочлен имеет вид
fix)
П П
? Ьг П (at
1=0 А1-О
akyx (х - ak).
Можно рассматривать также многочлены от нескольких пере| менных. Пусть R
обозначает коммутативное кольцо с единицей и пусть xi, хп- символы,
которые выступают в качеств/ переменных. Образуем сначала кольцо
многочленов R [х4], зате] кольцо многочленов R [х1( х2] = R (хЛ ] (х21 и
т. д., пока щ достигнем R [х1( ..." хп] = R [х*, xn_J [хп]. Элементам!
кольца R lxt) ..., хп] являются выражения вида
/ = /(¦
1
I I
х1п
П
с коэффициентами at ,,,* ? R, причем суммирование расг
1 Tit
страняется на конечное множество л-наборов (/4, in) неотри цательных
целых чисел и соблюдается соглашение xj = 1, 1 ^ / < п. Такое выражение
называется многочленом от перемен* ныххг, ..., хп над кольцом R. Два
многочлена / Hg из R [xlt ..., хп равны тогда и только тогда, когда равны
все соответствующие ко фнциенты. При этом предполагается, что переменные
х1( ..., х коммутируют (т. е. перестановочны) друг с другом, так что, н#
пример, выражения х!х2х3х4 н х4х4х3х2 отождествляются.
§ 3. Многочлены
45
1.72. Определение. Пусть многочлен f ? R [хг, ..., хп1 задан
выражением
f (*Р • • - , Хп) ~ S ai i Х\1 ' - ' Хп'
1 f v
ь 4
Если Дгг..гп=#0, то aiv..inxll •¦•хп называется членом многочлена /, a i±
+ ... + /п - степенью этого члена. Степень многочлена f Ф 0 (обозначаемая
через deg (f)} определяется как наибольшая из степеней его членов. Для f
= 0 полагается deg (/) Если f - 0 или все члены f имеют одну и ту же
степень, то многочлен f называется однородным.
Любой многочлен f ? R [хъ хп] можно записать в виде конечной суммы
однородных многочленов. Степени многочленов из R [xv ..., хп 1 снова
удовлетворяют неравенствам теоремы 1.50, а если R-целостное кольцо, то
справедливо равенство (1.4), так что R [х1У хп] тоже является целостным
кольцом. Если F - поле, то каждый многочлен положительной степени из F
