Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
различных решений у по модулю р.
1.40. Доказать, что для простого числа р> 2 существует ровно два эл*&
мента а ? Fp, таких, что а2 ~ I,
1.41. Показать, что многочлен/ ? Z [х], такой, что/(0) = / (1) - l(mod^
не может иметь корней в Z.
1.42. Пусть р - простое число и / ? Z [х ]. Показать, что сравнение /
(а) щ
= 0 (mod р) выполняется Для всех a ? Z в том и только том случае, если
/ (х)
= (хр - х) g (х) + pH (х) для некоторых g, h ? Z [х].
1.43. Пусть р - простое число и с - элемент некоторого поля F, Пока^
Л V%:s
зать, что многочлен х - с тогда и только тогда неприводим над F, когда!
он ие имеет корней в поле F.
1.44. Показать, что для многочлена / положительной степени над полем
следующие условия эквивалентны:
(a) многочлен f неприводим над F;
(b) главный идеал (/) кольца F [х ] является максимальным идеалом;
(c) главный идеал (/) кольца F [х ] является простым идеалом.
1.45. Доказать следующие свойства производной многочленов иад полем
(a) (/, +... + гту = /; + - + гт:
(b) №)' = f'g + Is';
т
(c) (/j ¦ ¦¦ fm) ~ /1 *• * /i-Jiff+1 • • • fm-.
t=l
1.46. Пусть f - многочлен над полем F. Доказать, что если характеристик
поля F равна 0, то /' = 0 тогда и только тогда, когда f - постоянный
многочлей если же F - поле простой характеристики р, то f* - 0 тогда н
только тог,
когда f (х) = g(xp) для некоторого многочлена g ? F [х].
1.47. Доказать теорему 1.68,
1.48. Доказать, что ненулевой многочлен f иад полем F имеет кратные кор
(из некоторого расширения поля F) тогда и только тогда, когда f и f ие
взаим просты.
I:
$?i
Упражнения
63
1.49. Применить критерий, полученный в предыдущем упражнении, для
выяснения вопроса, имеют ли следующие многочлены кратные корни:
(а) f (х) = х4 - Sx3 + Gx2 + 4x - 3 ? Q Гдг ];
(б) f (x) - x? f r* -f x4 4- ~r i € F*2 t*b
1.50. n-я производная fln* многочлена f над полем F определяется рекур-
реитно следующим образом: /= f, f ~ для п ^ 1. Доказать, что
для f, g ? F fx] имеет место соотношение
iig){") = ? (" ) fin~n8(l
(формула Лейбница).
1.51. Пусть F ~ некоторое поле и k - натуральное число (если F - поле
простой характеристики pt то предполагается, что к< р). Доказать, что
элемент b ? F является корнем кратности k многочлена f ? F [х] в том и
только
том случае, если /8) (Ь) - 0 для 0 ^ i ^ k - 1 и (Ь) Ф 0.
1.52. Доказать, что интерполяционную формулу Лагранжа (см. теорему 1,71)
можно записать также в следующем виде:
П
п
f (*)-2bi & j где g =n (x~ afc)'
(=0 1 *=о
1.53. Найти многочлен f ? Fs fx], такой, что f (0) = / (1) = / (4) ~ 1,
a / (2) - / (3) = 3.
1.54. Найти многочлен / ? Q fx| степени ^3, такой, что/(-I) (tm) -1, /(0)=
3, /<!) = 3, f (2) = 5.
1.55. Выразить многочлен % (xlt x2, x3, xA) - x\' f xf + xf ф x| ? F3
[*i, хъ x3, x4} через элементарные симметрические многочлены от четырех
переменных о*,
Ь
Z
, ег3 и а4 (см- пример i .74).
1.56. Доказать, что подмножество К поля F является его подполем тогда и
только тогда, когда выполняются следующие условия:
(а) К содержит по крайней мере два элемента;
(б) если а, Ь ? К, то а - Ь ? К\_
(с) если а, Ь ? К и Ь Ф 0, то аЬ~1 ? К-
1.57. Доказать, что расширение L поля К является конечным
расширением
а том и только том случае, если L может быть получено нз К присоединением
конечного числа алгебраических иад К элементов.
1.58. Доказать, что если 8 - алгебраический элемент над полем L, где t -
алгебраическое расширение поля КУ то элемент 8 является алгебраическим
также над полем К. Это значит, что если F - алгебраическое расширение
поля L, то F - в то же время и алгебраическое расширение поля К-
1.59. Доказать, что если L - расширение поля К и степень [?.:/(] -
простое число, то единственными полями F, удовлетворяющими условию К ? F
<= S' L, являются F - К и F - L.
1.60. Построить таблицы сложения и умножения для поля L - F3 (8) из
примера 1.88.
1.61. Доказать неприводимость иад F2 многочлена f (х) = х4 + х 4- 1 6 €
1Г2 [х] и построить таблицы операций для простого расширения Г2 (6). где
8 корень многочлена
1.62. Вычислить дискриминант D (/) многочлена / и с его помощью выяснить,
имеет или нет многочлен / кратные кории:
(a) f (х) - 2х3 - 3xs + i € Q 1хЬ
(b) /(*) = 2л^+ х* + х* + 2* + 2 € 1Г3 1дг].
1.63. Вывести формулу (1.9) из (1.11).
64 Гл. L Алгебраические основы
1.64. Доказать, что многочлены / и g из К [х] (К - поле) имеют общим
корень (из некоторого расширения поля К) и том н только том случае, если
* и g имеют общий делитель положительной степени из К [*]. 11
1.65. Найти общие корни многочленов х7 - 2а4 - а3 + 2 и а6 - Злг* - х 4il
+ 3 из Q [а]. Ц
1.66. Доказать, что если fag - многочлены из определения 1.93, то R Л
ё) = (~Цтп Я Сg. /)¦ I
1.67. Пусть f и g - многочлены положительной степени над полем Л и пусть
в поле разложения многочлена fg иад К имеем fix) - а0 (а - ах) .,1 ,..
(а- - "д), Oq ф 0, g (а) = &() (х - Pj) ,.. (а - (Зт), Ь0 Ф 0. Доказать,
что 1
т пт ¦ ¦ J
* </, г) = < -1Г" ь1 П / (Р/) - <"62 П D (",. - р.). I
