Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 24

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 371 >> Следующая

имеет корень. Более того, доказательство это теоремы не просто дает
обоснование факта существования ука занного расширения - оно дает также
метод построения требуе мого расширения.
Можно классифицировать элементы расширения F поля К по их отношению к
полю К. Если 0 ? Ft то простое расширений К (0) поля К либо изоморфно
полю К (х) рациональных фуикци над К (называемому также полем частных
кольца К \хJ), либ (в силу теоремы 1.86) изоморфно факторкольцу К
Ix3/(g), гд g ? К [х 3 - некоторый неприводимый многочлен, для котороЩ
ш.
Упражнения
59
элемент 9 является корнем. В первом случае элемент 0 называется
трансцендентным над К, во втором, как нам уже известно, 9 является
алгебраическим над К- Расширение F поля /С, которое не является
алгебраическим, называется трансцендентным. Примеров трансцендентных
элементов можно привести сколько угодно. Так, большая часть
действительных чисел (например, с, л,
2|2~, ...) - это трансцендентные над полем рациональных чисел Q числа.
Поля разложения существуют не только для одного непостоянного многочлена
над полем К, но и для любой совокупности таких многочленов, Поле
разложения над К совокупности всех непостоянных многочленов из К \х\
называется алгебраическим замыканием К поля К- Это поле является
алгебраическим расширением поля К со следующим дополнительным свойством:
любой
непостоянный многочлен из Л* Гх] вполне разлагается в поле К-
Для случаев К ~ Q и К = Fp алгебраическое замыкание К служит примером
алгебраического расширения поля К, которое не является конечным
расширением этого поля.
Абстрактная теория расширений полей была развита в фундаментальной статье
Steinitz [1 ]. Более раниие исследования в этом направлении проведены в
работах Kneser fl], K/onecker [5], [8] и Weber ГЗ].
Упражнения
1.1. Доказать, что единичный элемент группы определяется однозначно.
1.2. Пусть G - мультипликативная группа. Доказать, что непустое
подмножество Н группы G является подгруппой этой группы в том и
только том случае, когда нз a, b ? Н следует об"1 ? Н. Если Н
конечно, то указанное условие
можно заменить таким: кз a, b ? Н следует ab ? Я.
1.3. Пусть а - элемент конечного порядка k мультипликативной группы G.
Показать, что для т ? Z равенство ат = е выполняется тогда и только
тогда, когда k делит т.
1-4. Для т ? N функция Эйлера ф (т) определяется как число натуральных
чисел k, не превосходящих т, которые взаимно просты с т. Доказать
следующие свойства этой функции (здесь т, л, s ? N и р - простое число):
(a) ф (р$) = ----;
(b) ф (тп) - ф (т) ф ("), если НОД (т, п) - I;
(c) ф (т) = т ^1----------... J- у где т = р\г ... р\г ~~
разложе-
ние гп на простые сомножители.
1.5. Найти ф (490) и ф (768).
1.6. Доказать следующее утверждение: если порядок группы равен р5, где р
простое число, s ? М, то порядок ее центра делится на р (использовать
теорему 1.27 - уравнение классов сопряженности).
1*7. Доказать, что в кольце R для всех a, b ? R имеет место* равенство (-
¦¦а) (-Ь) - ab.
60
Гл. 1. Алгебраические основы
1.8. Доказать, что в коммутативном кольце R для всех a, b ? R и п ? N
справедлива формула :
(и + bf = ап + (1) <Г~' ь + ab*-' 4
Ъп,
где
С)
п I
k\(n~k)l
%
(формула бинома).
1.9. Пусть р ? Z - простое число. Для любого а ? Z, не делящегося!
на показать, что р делит число ар~1 - 1 (малая теорема Ферма).
1.10. Доказать, что для любого простого числа р имеет место сравнений (р
- 1)! = -I (mod р) (теорема Вильсона).
1.11. Доказать, что если р - простое число, то ^ ^ (- if
(mod
>*<щ
ДЛЯ О < / < р - 1, / ?
1.12. Ферма высказал гипотезу, что для всех целых неотрицательных чисел
й?
число 2&п 4~ 1 является простым. Эйлер нашел противоречащий пример: число
641 делит 233 + 1. Подтвердить это, используя сравнения.
1.13. Доказать, что если тг, ..., - ратуральные попарно взаимно;
I5 л
•i/Я
ji
простые числа, т. е. НОД (№;, tnj) = 1 для 1 ^ ^ k, то для
любых цельщ
чисел gejl, .... система сравнений у = а^ (mod m/), / - 1, ..., k, имеет
решетине у, определенное однозначно по модулю tn = т1 ... (китайская
теоремй| об остатках).
1.14. Решить систему сравнений 5х = 20 (mod 6), 6х z: 6 (mod 5), Ах з з 5
(mod 77).
1.15. Показать, что если R - коммутативное кольцо простой характерна
стнки р, то при любых alt ..., as ? R
¦щ
1.16. Вывести из результата упр. 1.11, что в коммутативном кольце R
простой характеристики р для всех а, Ь ? R имеет место равенство
(а - bf
-1
р-1
? a'V-1-'.
/=о
¦и
.. vjr
1.17. Пусть F - поле и f ? F [х]. Доказать, что совокупность многочленов
{g if (х)) | g ? F [х]} совпадает с кольцом F [х] тогда и только
тогда,
deg {/) = 1.
1.18. Показать, что из равенства р2 (х) - хф (х) - хг2 (х), где р, q,
г ?4
? R [хj, следует, что р - q - г - 0. %
1.19. Пусть F - ноле и /, g ? V [х ]. Показать, что главный идеал
щ
и
htih
содержится в главном идеале (g) тогда и только тогда, когда многочлен g
дел ит /.
1.20. Доказать следующее предложение. Если F - поле и многочлены
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed