Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 27

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 371 >> Следующая

1 1 = 1 /=1 1
*** !ьП'
где в качестве формальных степеней многочленов f и g берутся соответствен
йщ их степени пит. -.М
1.68. Вычислить результант R (/, g) двух данных многочленов f и?(пр||
формальных степенях, совпадающих со степенями) и выяснить, имеют или неЯ
эти многочлены общие корни: I
(a) f (х) - a3 f а -f- К g (а) = 2а5 I- а2 + 2 ^ ?Р3 [* I; I
(b) f(x) = А4+ А3 + U ё(х) = А4 Г- Аа+ A f 1 ? Г2 [а]. I
1.69. Для многочлена f ? К [**, ..., *п] от п > 2 переменных над полем Я
нулем можно назвать такой п*набор (alt ..., "п) элементов а*,
принадлежащий некоторому расширению поля К. Для которого f {ctlf ..., ап)
- 0. Пусть теперщ /* g ? К Xji ] и переменная Аа фактически
входит в многочлены f и щ
Тогда оба этих многочлена можно рассматривать как многочлены / (ха) и g
(x,Jj положительной степени от одной переменной ап из кольца К [xlf ...,
An_j] [ха|1 Результант этих многочленов (при формальных степенях,
совпадающих со ст" пенями) R (f, g) - RXn ift g) тогда является
многочленом от перемелинД
An_j_. Показать, что многочлены f и g имеют общий нуль (alt ..., "и-ш
ап) тогда и только тогда, когда (п - 1)-набор (аь ., oc""!)
является нуле(r)
результанта R (f, g). - Щ
1.70. Используя результат предыдущего упражнения, найти общие иуд ж
многочленов f (а, у) = х iy2 - а)2 + Уь и g (а, у) = у4 + у2 - а2 из Q
[а, yj-g
\|*^|
Глава 2 Строение конечных полей
Это наиболее важная глава, так как в ней излагаются основные свойства
конечных полей и описываются методы построения конечных полей.
Наиболее известным примером конечного поля является поле классов вычетов
по простому модулю, т. е. факторкольцо Zl(p), где р - простое число.
Многие свойства этого поля сохраняются и для произвольных конечных полей.
В § 1 устанавливается, что порядком каждого конечного поля является
некоторая степень простого числа и, наоборот, для каждой степени простого
числа q - pnt п ? IN, существует конечное поле, состоящее из q элементов.
Более того, оказывается, что все конечные поля с одним и тем же числом
элементов изоморфны друг другу и потому могут быть отождествлены.
В следующих двух параграфах даются сведения о корнях неприводимых
многочленов, позволяющие рассматривать каждое конечное поле как поле
разложения некоторого неприводимого многочлена над его простым подполем,
а также о следах, нормах и базисах, определяемых конечным полем и его
расширением.
В § 4 корни из единицы изучаются с точки зрения общей теории полей (это
понадобится в § 6, а также в гл. 5). В § 5 указываются разные способы
представления элементов конечного поля. И наконец, в § 6 даются два
доказательства известной теоремы Веддербёрна о том, что каждое конечное
тело является полем,
В последующих главах многие идеи и методы этой главы получат дальнейшее
развитие.
§ I. Характеризация конечных полей
В гл. 1 мы уже встретились с важным классом конечных полей, т. е. полей,
состоящих из конечного числа элементов. А именно было установлено
(теорема 1.38), что для каждого простого числа р факторкольцо 7J{p)
является конечным полем, состоящим из Р элементов, которое может быть
отождествлено с полем Галуа "р - GF (р) порядка р (см. определение 1.41).
^ Зак, 222
66
Гл. 2. Строение конечных полей
Р' ' ' , .....>¦*"¦"¦ -1.1.11,11,1
Поле Fp играет важную роль в общей теории полей, так ка согласно теореме
! .78, каждое поле характеристики р долж содержать изоморфное Fp подполе
и потому может рассматр ватьси как расширение поля fp. Это замечание
играет основную роль в классификации конечных полей, поскольку характер
стика каждого конечного поля является простым числом (сл ствие 1.45),
Установим прежде всего одно простое предложение о числ элементов
конечного поля.
из
2.1. Лемма. Пусть F - конечное пом, содержащее подпом q элементов. Тогда
F состоит из qm элементов, где т
IF : К1
.
щ
Доказательство. Поле F можно рассматривать как векторн пространство над
полем К. В силу конечности F это пространст конечномерно. Если [F : К1 -
т, то F имеет базис над полем состоящий из т элементов, скажем, Ьъ Ьт.
Таким образом!^ каждый элемент поля F может быть однозначно представдеЦ в
виде линейной комбинации агЬ\ + ... + атЬтл где аь ап ? К. Так как каждый
коэффициент at может принимать q зиа чений, то поле F состоит в точности
из qm элементов.
2.2. Теорема. Пусть F - конечное поле. Тогда оно состо из рп элементов,
где простое число р является характеристи поля Ft а натуральное число п
является степенью поля F над т простым, подпомм,.
Доказательство. Так как поле F конечно, то его характеру стика- некоторое
простое число р (см. следствие 1.45). Поэто простое подполе К поля F
изоморфно рр, согласно теореме 1.1 и, значит, содержит р элементов.
Остальное вытекает из л мы 2.1.
is? 5
Отправляясь от простых полей рр, мы можем строить друп конечные поля с
помощью процесса присоединения кория, on санного в § 4 гл. 1. Если / ? Fp
1х] - неприводимый многочл* степени п над Рр( то, присоединяя к Рр корень
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed