Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
мы соответственно приходим к определениям максимального и простого
идеалов. 1
§ 3. При обычном определении многочлена как выражений вида а0 + ах% + ...
+ апхп обсуждения вопроса о связи коэффи-;! циентов at и переменной х
обычно избегают. Однако существует! способ дать совершенно
безукоризненное определение многочлен#! как элемента кольца многочленов.
Я
Чтобы дать такое определение, рассмотрим множество S всех! бесконечных
последовательностей вида J
компонентами ai которых являются элементы некоторого коммун тативного
кольца R с единицей 1, причем лишь конечное числА компонент а, может быть
отлично от 0. Нетрудно убедиться, чтЩ
к § 4).
Комментарии
57
множество S образует коммутативное кольцо с единицей относительно
следующих операций сложения и умножения:
(До, аи ...) + {Ь0, Ьи ¦¦¦) = (<h + bQ, d\ + blt ...),
(<3qt ...) (^q, bi, ~ dffbi + <2i&ot ...),
где (n + 1)-я компонента произведения равна a0bn + + ...
-1-anb0. Нулевым элементом кольца S является, очевидно, (О, 0, ...), а
единицей (1, 0, 0, ...).
Множество Р последовательностей вида (а0, 0, 0, где лишь первая
компонента может быть отличной от 0, образует подкольцо кольца S. Это
подкольцо Р и заданное кольцо R изоморфны, причем изоморфизм задается
соответствием (а0, 0, 0, ...) i-> а0. Поэтому мы отождествляем эти два
кольца и пишем (а0, О, О, ...) =
• сц. Кольцо таким образом, можно рассматривать как подкольцо кольца S, a
S - как расширение кольца R.
Обозначим теперь через х последовательность (0, 1,0, ...). Легко
проверить, что
хп - (0, ..., 0, 1, 0, ...) для rt > 1,
где I является (п + 1)-й компонентой. Если, кроме того, положить xQ = (1,
0, 0, ...) = 1, то для любой последовательности (ягь аи 0%, ...) из S
(tm) (По" 0, 0, ...) + (0, 0, ...) + (0, 0, а2, 0, ...) + ...
-
- (а0, 0, 0, ".) (1, 0, 0, ...) + (аи 0, 0, ...) (0, 1, 0, ...)
+
Л- (<з2, 0, 0, ...) (0, 0, 1, 0, ...) -|~ ... ~
• (а0. 0, 0, ...) 1 +'(ai* 0, 0, ...) х + (а2, 0, 0, ...) х2 +
=
= <з0 Л" а\Х Ь &%х2 4* ¦ ¦ • Л~ &п%п ~ / {х) -
Т аким образом, элементами кольца S являются многочлены / (я) ? R \х],
определяемые как бесконечные последовательности с конечным числом
ненулевых компонент.
Мы снова обращаем внимание, что главным соображением в пользу такого
определения многочлена / (я) над R является прояснение связи между
элементами из R и новым элементом х. Переход от кольца R к кольцу S
многочленов над R называется кольцевым присоединением элемента х к кольцу
R. Кольцо многочленов R [х] можно считать также подкольцом кольца
формальных степенных рядов над кольцом R (оно будет введено в гл. 8).
Рассматривая свойства кольца Z целых чисел и кольца F [х] многочленов над
некоторым полем F, нетрудно заметить некоторое сходство между ними.
Действительно, оба типа колец относятся к одному и тому же классу -
евклидовым кольцам. Евклидово кольцо - это коммутативное кольцо R,
содержащее не менее
58
Гл. 1. Алгебраические основы
двух элементов и не имеющее делителей нуля, для которого ществует
отображение v из множества ненулевых элемент* кольца R в множество
неотрицательных целых чисел со следуй ющими двумя свойствами: (i) если af
Ь ? R, причем аЬ Ф & то v (ab) >• v (а); (ii) для а, Ъ ? R, где Ь Ф 0,
существуют элй| менты q, г ? R, такие, что а - qb + г, причем либо г = О,
ли v (г) <v'(b). Нетрудно заметить, что Z является евклидовы кольцом, где
v(n) = |ц| для п ? Z, a F [лсЗ является евклид вым кольцом, где v (f) ~
deg (f) для f ? F [jcJ. Справедлив такс общий результат: любое евклидово
кольцо является кольцо^ главных идеалов.
Свойство, устанавливаемое теоремой 1.59, тоже сохраняется и при более
общих предположениях. Введем следующее определение. Целостное кольцо, в
котором выполняется теорема об одно* значном разложении на простые
сомножители, т. е. в котором каждый отличный от нуля элемент, не
являющийся делителей единицы, может быть однозначно (с точностью до
делителей единицы и до порядка сомножителей) представлен в виде
произведем иия простых элементов, называется факториальным кольцом или
кольцом с однозначным разложением на простые сомножители Таким образом,
коротко говоря, теорема 1.59 утверждает, чт кольцо F [х 3 многочленов над
полем F является факториальным"; Более того, любое кольцо главных идеалов
тоже является факт риальным. Китайская теорема об остатках (см. упр.
1.37) являете частным случаем общего результата такого типа, доказанное в
книге Ленга Lang [4, ch. 2 3.
Много фактов о многочленах от одной или нескольких пере*?
меиных содержится в книгах Redei [10 3 и van der Waerdeif [23 и в
монографии повышенного типа о многочленах Lauseh Nobauer [1 3.
§ 4. В этом параграфе основными являются теоремы 1.8 и 1.87. В сущности,
можно сказать, что теорема 1.87 устанавлн§ вает один из наиболее
фундаментальных результатов теори полей. Этот результат, принадлежащий
Кронекеру (Kroneck [8 3), гарантирует для любого непостоянного многочлена
на полем F существование такого расширения поля F, в котор этот многочлен
