Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
этого многочлену мы получим конечное поле из рп элементов. Однако на этом
этап еще неясно, существует ли для каждого натурального числа
неприводимый многочлен степени п из Рр [дс]. Чтобы установит что для
каждого простого р и каждого натурального п существу конечное поле из рп
элементов, мы используем другой подход подсказываемый следующей леммой.
2.3. Лемма. Если F - конечное поле из q эмментов, то к дый элемент а ? F
удовлетворяет равенству аЛ - а.
Доказательство. Для а - 0 равенство Ф - а выполняв тривиально. Что же
касается ненулевых элементов поля F,
§ 1. Характеризация конечных полей
67
они образуют мультипликативную группу порядка q- I, так что для каждого
ненулевого элемента а ? F выполняется равенство &~~l = 1, умножение
которого на а приводит к требуемому результату. П
2.4. Лемма. Если F - конечное поле из q элементов и К - подполе поля Ff
то многочлен х9- х из К [х ] вполне разлагается
F [х) следующим, образом,:
*
хq - х - П (х - а),
г.
пак что F является полем, разложения многочлена хЯ- х над полем /С.
Доказательство, Многочлен хя - х степени q имеет не более q различных
корней в поле F. В силу леммы 2.3 нам известно q таких различных корней -
нмн являются все элементы поля F. Таким образом, данный многочлен
разлагается в поле F указанным в формулировке образом и не может вполне
разлагаться ни в каком меньшем поле. ?
Теперь мы в состоянии доказать главную характеризационную теорему для
конечных полей, основная идея которой содержится а лемме 2.4.
2,5. Теорема (существование и единственность конечных полей). Для
каждого простого числа р и каждого натурального числа п существует
конечное поле из рп элементов. Любое конечное поле из q - рп элементов
изоморфно полю разложения многочлена х? - х над полем, [Fp-
Доказательство. Существование. Для q ~ рр рассмотрим многочлен хЯ - х нз
Fp U1, и пусть F будет его полем разложения над Fp. Указанный многочлен
имеете различных корней в поле F, так как его производная является
постоянным многочленом qxv-1 - 1 = -I ф 0 из Fp [х] и в силу этого не
может иметь общих корней с х* - х (см. теорему 1.68). Положим 5 = \а ? ?
F | & - а = 0\. Тогда S является подполем поля F, так как (i) S содержит
0 и I; (ii) если а, Ь ? 5, то по теореме 1.46 (а - b)Q = off - Ы = а - Ь,
а значит, а - Ь С 5; (iii) для Щ b ? S, Ь Ф 0, имеем (ab~lY ~ a9b~~<? ~
ab~\ так что ab~l ? S. Но, с другой стороны, многочлен & - х должен
вполне разлагаться в S, так как поле S содержит все его корни. Таким
образом, S - F, а поскольку S состоит нз q элементов, то F является
конечным полем из q элементов.
68
Гл. 2. Строение конечных полей
Единственность. Пусть F - конечное поле из q - рп элементов. Тогда F
имеет характеристику р (теорема 2.2) и потому содержит в качестве подполя
поле Fp. Из леммы 2.4 следует, чтй| F является полем разложения
многочлена хл - х над полем Fp. Требуемый результат теперь вытекает из
единственности точностью до изоморфизма) поля разложения
1.91).
п
'¦йт
Доказанная в теореме 2.5 единственность позволяет говорить о вполне
определенном конечном поле данного порядка q (т. е< о поле Галуа из ц
элементов). Будем обозначать его через где под q понимается степень
некоторого простого числа рл кото* рое является характеристикой этого
поля (теорема 2.2).
2.6. Теорема (критерий подполя). Пусть Fg- конечное пом из q - рп
элементов (р - простое число). Тогда каждое подполе* поля Fg имеет
порядок рт, где т является положительным, делителем числа п. Обратно,
если т - положительный делителш числа п, то существует ровно одно подполе
поля Fg из рт эле* ментов.
%
Доказательство. Ясно, что любое подполе К поля Fg должно иметь порядок
рт, где т - натуральное число, не превосхо^ дящее п. Из леммы 2.1
следует, что число q = рп должно степенью числа рт% так что т обязательно
делит число п.
т
Обратно, если т
М
- 1 делит число рп -многочлен хрп~1 - 1 в
л х - х?
ЛП
положительный делитель числа - 1, так что многочлен хрт-1 - 1
п,
дели дели
х в F" 1х]. Таким образом, кажд х является корнем многочлена хР
Fp [х]. Следовательно
хРт - х
многочлен хр
корень многочлена хр' и, значит, принадлежит полю Fg. Поэтому поле Fg
должно с<Щ
держать в качестве подполя поле разложения многочлена хрт - над Fp, а из
доказательства теоремы 2.5 мы видели, что так поле разложения нмеет
порядок рт. Если бы поле Fg содержал два различных подполя порядка рт, то
эти подполя содержали б:
в совокупности больше чем рт корней многочлена хрт ~ х в п ле Fg* а это
невозможно.
Доказательство теоремы 2.6 показывает, что если т - пол* жительный
делитель числа п, то в поле Fp" имеется едннствеин
подполе порядка рт, и это подполе состоит в точности из коря1
многочлена хрт - х С Fp U1 в поле F ".
2.7. Пример. Подполя конечного поля F2S0 можно найт! составив список всех
положительных делителей числа 30. Ош
т
'VTcX
§ I. Характеризация конечных полей
69
шения включения между этими подполями указаны в следующей диаграмме.
