Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 32

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 371 >> Следующая

отображениями Lp, р ? F. П|
2,25, Теорема. Пусть F - конечное расширение поля К - Fe.| Тогда для а ?
F равенство TrF/K (сс) = 0 выполняется в том% и только том случае, еолп
имеет место равенство сс =- р? - р | для некоторого элемента р ? F. 1
Доказательство. Достаточность этого условия очевидна ввиду ! теоремы 2.23
(v). Для доказательства необходимости допустим,,! что сс 6 F = таково,
что TrF/K (сс) ^ О, и р - кореиь мнот|| гочлена х<? - х - сс из
некоторого расширения поля F. Тогда!
р? - р -- СС И ;||
Если рассматривается двухэтажная башня К ^ F ? Е расширений полей, то
композиция функций следа ведет себя очень| просто. -.I
2.26. Теорема (транзитивность следа). Пусть К - конечном поле, F -
конечное расширение поля К и Е - конечное расширщ
Доказательство. Пусть К = Fq> (L : К] = т и [L : F] = я" так что [?:/(] =
тп согласно теореме 1.84. Тогда для сс ^ Й
О = TrF/K (сс) - сс -j- ос? + ... -j- сс?*1 1 =
= (Р* - Р) + (Р*2 - И + ¦ ¦ ¦ + (Pem - Р^-1)
= р*"1 - р.
так что р ? F.
ние поля F. Тогда для всех сс ? Е имеет место равенство
Тг ?/*(") = Тгр/Л (TrE/F(a)).
Тгг/к (Tr?/F (а)) = 2 (Tr?/f
§ 3. Следы, нормы н базисы
77
т-1 (п-1 \ <Д т- 1 п-I
= 2 Е "•'-) = 22 *'"+' =
{=0 \/~0 / ?-0 /-О
отя-1
= Jj "'* "Тгв/Л(о). ?
Другая интересная функция из конечного поля в его подполе получается,
если рассматривать произведения элементов, сопряженных с некоторым
элементом поля относительно данного подполя.
2.27, Определение. Для сс С F - F^m и Д -- Fg определим норму Nf/k (а)
элемента сс над полем Д равенством
Nр[К (а) = сс - ос? - ос?2 * .. . *а$т~[ ~ aS^m~L)/(а-1>.
Сравнивая в равенстве (2.1) постоянные члены, получим выражение нормы
Nf/k (сс) через свободный член характеристического многочлена элемента сс
над полем Д:
Nf/k (сс) = (-1)та0. (2.3)
В частности* получаем, что норма Nf/k (ct) всегда является элементом поля
Д.
2.28. Теорема. Пусть Д = Fg и F = F?m. Тогда функция нормы Nf/k обладает
следующими свойствами:
(i) Nw (ссР) = Nf/k (сс) Nf/k (Р) для всех ос, р ? F;
(ii) Nf/k отображает F на Д и F* на К*',
(iii) Nf/k (я) - ат для всех а ? Д\
(iv) Nf/k (сс*) = N f/k (сс) для всех сс ? F.
Доказательство. Свойство (i) вытекает непосредственно из определения
нормы.
(ii) Мы уже отмечали, что функция Nf/k отображает F в Д\ Поскольку Nf/k
(а) - 0 в том и только том случае, если сс = О, то N f/k отображает F* в
ТС*. Свойство (i) означает, что отображение Nf/k является гомоморфизмом
мультипликативной группы F* в мультипликативную группу Д*. Так как
элементами ядра
гомоморфизма N f/k являются корни многочлена 0 -
- 1 С К [л: 1, принадлежащие полю F, и только они, то порядок d этого
ядра удовлетворяет неравенству d < {qm - 1)% - 1). Согласно теореме 1.23,
образ отображения Nf/k имеет порядок
{qm - 1 )(d^ q - 1. Значит, Nf/k отображает F* на Д* и, следовательно, F
на Д.
(iii) Это свойство сразу вытекает из определения нормы и того факта, что
все элементы, сопряженные с а ? Д относительно Поля /С, равны а.
78
Гл. 2, Строение конечных полей
(iv) Учитывая, что Nf/к (а) ? Д для любого а ? F, и применяя (i) и лемму
2.3, получим, что Nf/k (aty - Nf//c (а)*? (tm) = Nf//c (сс), и это
доказывает (iv). П
2.29. Теорема (транзитивность нормы). Пусть Д поле, f - конечное
расширение поля К и Е - поля F. Тогда для всех а ? Е
Л
- конечной конечное расширение
;-й
Доказательство,
получаем
Nf/k (^b/f ("))
Nf/k (а^ия'1)/(^0) =
(ctV"rt-1)/ОЛ-* ))6?m-О/(^
a№n-l)/<r-D =NB/j?(G6).
•Я
о
Если {cci, ctm) - базис конечного поля f над некоторым подполем К, то
возникает вопрос о вычислении коэффициентов Cj (сс) ? К, 1 < j < т, в
однозначном представлении
а
сх (ос) аг -f ... + ст (а) а
т
(2.4)
элемента a?F. Заметим, что ср. a t-> Cj (а) есть линейное отобр&Н жение
из F в К, и потому, согласно теореме 2.24, существует элемент ? Е, такой,
что с\ (а) - TrF/K (p/a) для всех а ? F Полагая a = a*, 1 < i < т, мы
видим, что след ТГр/К равен 0 при i ф j и 1 при i = /. Кроме того, {р1(
..., рт} - тож#-базис F над К, так как если
, \Ц
т

dm$m = о при dt€K, 1 <i < т,
¦Л
то, умножая на фиксированное at и применяя функцию елеЩ Ttf/k, получаем,
что di = 0.
2.30. Определение. Пусть К - конечное поле и F - его ко^ нечное
расширение. Тогда два базиса {аи ссгп) и {рх, рт|
поля F над К называются дуальными, если для 1 < f, j с
TrF//c("fp/)
при
при

I
ш
I
Выше было показано, что для любого базиса {"ь поля F над Д существует
некоторый дуальный базис {р1( рт)
В действительности дуальный базис для базиса {ос1( a
определяется однозначно, так как из его определения видно, ч коэффициенты
Cj (сс), 1 < / < т, в (2.4) для всех a ? F задаютс равенством с/ (a) =
T^fik (Р/а). и по теореме 2.24 элемент.Р/ ? однозначно определяется
линейным отображением cj.
§ 3. Следы, нормы н базнсы
79
2.31. Пример. Пусть а ? Fg-корень неприводимого много-члена г* + х2 + 1
из Fa [*Ь Тогда {а, а2, 1 + а + а2} - базис поля Р8 над р2. Легко
проверить, что однозначно определенным дуальным к нему базисом снова
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed