Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
композицию отображения сг с самим собой. Поскольку сг (а + р) = = сг (а)
+ сг (Р) и сг (са) = сг (с) сг (а) = са (а) для а, Р ? F н с ? Ki
отображение о можно также рассматривать как линейный оператор в векторном
пространстве F над полем Д. Так как от -
е, то многочлен хт - 1 ? К \х\ аннулирует оператор сг. Из леммы 2.33,
примененной к операторам в, сг, сг2, ..., crm_1, рассматриваемым как
эндоморфизмы группы F*, следует, что в кольце К [х] не существует
ненулевых многочленов степени, меньшей т, которые аннулируют оператор сг.
Следовательно, хт - 1 - минимальный многочлен линейного оператора сг.
Поскольку характеристический многочлен оператора сг является
нормированным многочленом степени т, делящимся на минимальный многочлен
этого оператора, то ясно, что характеристическим многочленом оператора сг
тоже является хт - 1. Поэтому в силу леммы 2.34 существует элемент а .С
F, такой, что элементы а, о (а), сг2 (а), ... порождают пространство F.
Отбрасывая повторяющиеся элементы, мы внднм, что элементы а, сг (а), сг2
(а), .... om_1 (а) порождают F и, следовательно, образуют базис F над Д.
Так как этот базис состоит из а и сопряженных с ним относительно поля К
элементов, то он является нормальным базисом поля F над К. П
Другое доказательство теоремы о нормальном базнсе будет Дано в § 4 гл. 3.
Оно использует так называемые линеаризованные многочлены.
Введем одно понятие, которое позволит нам решить вопрос, является лн
данное множество элементов базисом некоторого расширения поля.
2.36. Определение. Пусть К - конечное поле и F - его расширение, имеющее
степень т над Д. Тогда дискриминантом.
82
Гл. 2. Строение конечных полей
&F/K (оЕЬ "от) элементов 0Е1, ... дующий определитель порядка т:
ат ? F над К назовем сл<
Д^/к((r) Ь -
Тг/?/к (aicti) Tf f/k ("1"2)
Т rF/K (asoti) Tf f/k (asOt2)
I " "
Т*>/к(а1(r)>п)
Tr FI К ("206m)
TrF/K(amai) TfF/K ("m062) ¦ ¦ . TfF/K ((r)rn"rn)
Из определения следует, что дискриминант Дк/к ((r)ь "";
всегда является элементом поля /С. Теперь можно дать следующу] простую
характеризацию базиса.
2.37. Теорема. Пусть К - конечное поле и F - его расшщ рение степени т.
Элементы (оц, ..., ат) поля F образуют & базис над К в том и только том
случае, если Af/k ((r)ь "т) ?=(r)
Доказательство. Пусть {аи ..., am} - базис поля F над К. Докажем, что
строки определителя Дf/k ((r)ь • "ш) линейн"
независимы; это и будет означать, что Дк/к ((r)ь ¦¦¦" &т) Ф О, Допустим,
что
^|Тгf/k ("1"/) ~Ь ГэТгf/k ((r)2"/) ~Ь ¦ ¦ * ~b cmTff/k ("""/)
для
О
т*
где сх, ..., ст /(. Тогда если р = + ... + cma
TfF/к (Р(r)/) " О Для * < / < т* и так как элементы он, щ порождают
пространство F, то это значит, что TfF/K (Р") - для всех a ? F. Но это
возможно лишь при р= 0, т. е. Cjoti +. ... + стат ~ 0, а это значит, что
сх = с2 - ... = ст - Обратно, допустим, что Af/k ((r)и ¦¦¦" "/я) ?=0 и с\он
+
... + стат - 0 для некоторых с*, ...,
т
ст С к. Тогда
Cjttja, 4- ... + CmamtXj - 0 ДЛЯ 1 " / < m
¦II
и, применяя функцию следа, получаем
йТгк/к ("1(r)/) Ч" * * ¦ Ч~ rmTfF/K ("#""/) - 0
Но поскольку строки определителя Дк/к ("ь "т) линейн<
независимы, сх - ... - ст = 0. Поэтому элементы оеь ..., a линейно
независимы над полем /С.
Имеется и другой определитель порядка т, служащий той ж* цели, что и
дискриминант Af/k ("ь ¦¦¦, Ц- Но его элементам; являются элементы
расширения F поля К = Fg. Для данны; элементов alf ..., ат поля F пусть А
будет mxm-матрицей (я/Л
f J
где а*/ - а/ . Еслн через Лт обозначить матрицу, транспои рованную к
матрице Л, то легко подсчитать, что в mXm-матрнц*
§ 3. Следы, нормы н базисы
83
р = А1 А на пересечении г-й строки и /-го столбца стоит элемент TrF/к
(сс*сс/). Поэтому, переходя к определителям, получаем
A f/k (ссь ат) = det (Л)2.
Таким образом, теперь из теоремы 2.37 вытекает следующий результат.
2.38. Следствие. Элементы {аь ..." ат} поля Тдт образуют базис этого поля
над полем Fg тогда и только тогда, когда определитель
сс* - , • ссш
det (Л) = сс? СС? * * * 0C/7I
аГ' м-1 ССэ - * * ССщ
отличен от нуля.
С помощью полученного критерия нетрудно проверить, приводит или нет
данный элемент к нормальному базису.
2,39. Теорема. Для того чтобы степени {а, а*, ...
алт~1) элемента а ? Fgm образовывали нормальный базис поля т над полем
Fg, необходимо и достаточно, чтобы многочлены
* * * $
Q
т
х"1 - 1 и ахт~] + aQxm~2 + ... + of1 2х + atf1 [х] были взаимно простыми.
Доказательство. При = а, а2 = а*, ..., ат делитель из следствия 2.38
принимает вид
из кольца
а
опре-
сс а? а*2 . .. а^-1
а*"-1 сс а9 . - - сс*"1-2
of1"2 а^~1 а ... а""*-3
a* а*' сс*1 а
(2.6)
(после подходящей перестановки строк). Теперь рассмотрим результант R (/,
g) многочленов f (х) - хт - 1 и g (х) = ахт~1 +
+ aV~2 + ...+ cc?m"2x + а*"1"1 с формальными степенями т и т-1
соответственно. Этот результант в соответствии с определением 1.93
является определителем порядка 2т - 1. Если в этом определителе прибавить
(т + 1)-й столбец к первому, (т + 2)-й ко второму и т. д. и, наконец" (2т
