Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
се ? Fgm относительно Fg элементы можно получить, действуя на се
автоморфизмами поля Fgm над Fg. Поскольку автоморфизмы поля fgm над Fg
образуют группу относительно операции композиции отображений, то из
теоремы 2.21 следует, что эта группа является циклической группой порядка
т с образующим элементом а^.
74
Гл, 2. Строение конечных полей
§ 3. Следы, нормы л базисы
В этом параграфе мы снова будем рассматривать конечное рас* ширение F =
конечного поля К ~ F? как векторное пространство над К (см., гл. 1, § 4).
Тогда размерность F над К равна т, и если {аи ат)-базис векторного
пространства F над полем К *), то каждый элемент се ? F однозначно
представим в виде линейной комбинации
сс = CiCtj -f
ста
Введем важную функцию из F в К> которая, как мы позже увидим, оказывается
линейной функцией.
2.22. Определение. Пусть К - Р?" F = Р^ и сс ? F. Определим след Тг(ов)
элемента сс над К равенством
Ft то Тг/?/* (сс) называется
Тгр/К(а) - сс
Еслн К - простое подполе поля абсолютным следом элемента сс и
обозначается просто Ti> (сс).
Другими словами, след TrF/K (а) элемента сс над полем К есть сумма всех
сопряженных с сс относительно К элементов. Дадим еще одно определение
следа. Пусть / ? К [х] - минимальный многочлен элемента = р^ над
полем К - Р*.
Его степень d является делителем числа т. Назовем многочлен g (х) = {
(x)m/d из К [х] характеристическим многочленом элемента а над полем К-
Согласно теореме 2.14, корнями много-
Л тг
Я
члена f в поле F являются элементы сс, се*,
а
поэтому
ж
учитывая замечание, следующее за определением 2.17, получаем, что корнями
многочлена g в поле F являются те и только те элементы, которые сопряжены
с элементом сс относительно поля К. Отсюда
#(*) = хт + + .. . + ц, = (х - а)(х - . (х-а"т-!),
(2.11
и сравнение коэффициентов дает
Тг^/х (сс) = -Gm-1 ¦
В частности, получаем, что след Ti>/# (а) всегда является эле*: ментом
поля К-
2.23. Теорема. Пусть К = Fq и F - р^. Тогда функци,
следа T*F(k обладает следующими свойствами\
(П Тгпк (сс + Р) = TrF/K (сс) + Тгвд (р) для всех сс, р ? F;
(ii) TrF/K (са) - cTrF/K (а) для всех с С К, сс С F;
а
(2.2)
*) В дальнейшем мы будем часто называть его базисом поля F над К. Прим.
перев.
¦ж
§ 3. Следы" нормы и базисы
75
(iii) Trp/к является линейным отображением из F на К, где F и К
рассматриваются как векторные пространства над
полем Д\
(iv) Тг f/к (а) - та для всех а ? Д;
(v) Тг р/к (а?) ^ Тг р/к (а) для всех а ? F.
Доказательство. (i) Используя теорему 1.46 для а, Р € Ft получим
1
TrF/K (a f Р) = а + р f (а + Р)" + ... + (а + Р)*!
= а -f р -f а" + р" + .. , + а*"1-1 + Р""*"'
Тгр/к (а) + TrP/K (Р).
(ii) Для с ? К по лемме 2.3 = с для всех j => 0.
Поэтому
;ля а ? F
Т Тр/К (са) =са-\- (Уа** + * * * -г с^т ХоРт 1 -
= са + с&ч + * ¦ - -г са^т~] = cTrF/K (а).
(iii) Из свойств (i) и (ii) с учетом того" что Trw (а) ? К для всех а ?
Ft получаем, что функция следа Тг/?/л: является линейным отображением из
F в К. Остается установить, что это отображение "на". Для этого ввиду
(ii) достаточно доказать существование элемента а ? /\ такого, что Ttf/k
(а) Ф 0. Ясно, что Тгад (а) - 0 тогда и только тогда, когда а является
корнем
многочлена -f ... 4- & 4- х ? Д \х] в поле F. Но так как этот многочлен
может иметь не более qm~l корней в F, а поле F состоит из qm элементов,
то нужный нам элемент в F существует,
(iv) Это равенство непосредственно вытекает из определения функции следа
и из леммы 2.3.
(у) Так как в силу леммы 2.3 для а ? F имеем atfl - а, ТО TrF//t (а?) =
о" + а*2 + ... + о*" = Tl>/* (а). ?
Г
Функция следа TrF/K не только сама является линейным отображением из F на
Д, но может служить, для описания всех возможных линейных отображений из
F в Д (т. е., в иной терминологии, всех линейных функционалов на F). Это
описание имеет то преимущество, что не зависит от выбора базиса.
2.24. Теорема. Пусть F - конечное расширение конечного поля. Д (оба поля
рассматриваются как векторные пространства над Ду Тогда линейными
отображениями из F в Д являются отображения L$, р ? F, определяемые
условием L$ (а) - - Тг/ук (рос) для всех а ? F, и только они. При этом
если р и у - различные элементы поля F, то Т$Ф Ly.'
76
Гл. 2. Строение конечных полей
Доказательство. Каждое отображение Lp в силу теоремы j 2.23 (iii)
является линейным отображением т F ъ К. При этом,,|
если р" у € $ Ф у, то I
Lp (сс) - Ly (сс) = TrF/K (Рос) - TrF/K (усе) = TtF/K ((Р - у) сс) ф 0
|
для подходящим образом выбранного элемента сс ? Р, так как! Ттр/к
отображает F на К; поэтому отображения Lp и Ly раз-J личны. Если К = Tq и
F = fqm, то получим qm различных! лииейиых отображений Lp из F в /(. С
другой стороны, выбрав! определенный базис (ссъ сст} векторного
пространства F над! полем К, мы можем получить любое линейное отображение
из F1 в К" отображая базисные элементы сс/, / - I, т, в произ-1 вольные
элементы поля Д, Это можно сделать qm различными! способами;
следовательно, все линейные отображения из F в /С| исчерпываются
