Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
- 1)-й столбец к (т - 1)-му, то в результате получится определитель,
равный вронзведению определителя диагональной матрицы порядка т - J
84
Гл, 2, Строение конечных полей
с элементами -1 по главной диагонали и определителя (2.6)1 Поэтому R (f,
g) с точностью до знака равен определителю (2.6Щ Утверждение теоремы
вытекает теперь из следствия 2.38 и тоЛ факта, что R (/, g) Ф 0 тогда и
только тогда, когда многочлены щ и g взаимно просты. [я
В связи-со сказанным выше упомянем без доказательства ещ|| один результат
о нормальном базисе. I
cs'S3
2.40. Теорема. Для каждого конечного поля F существуещ нормальный базис
этого поля над его простым подполем, которыщ состоит из примитивных
элементов поля F. I
>оВ
I, eg
Л*Х
§ 4. Корни из единицы и круговые многочлены 1
• / .VAjjjG
В этом параграфе мы исследуем поле разложения многочлена! хп - 1 над
произвольным полем К> где п - натуральное числоJ Кроме того, мы получим
обобщение понятия корня из единицы*! хорошо известного для комплексных
чисел. -Щ
2.41. Определение. Для натурального числа п поле разложе-1 ния многочлена
хп - 1 над произвольным полем К называете(r) п-круговым (или п-
циклотомическим) полем над К и обозначала ется К(я). Корни многочлена хп
- 1 из поля К{п) называются корнями п-й степени из единицы над множество
этих корне|| обозначим Я
-щ
В том частном случае, когда К - поле рациональных чисел!} К{п)
представляет собой некоторое подполе поля С комплексный чисел, а корни п-
й степени нз единицы имеют известную геометрий! ческую интерпретацию: они
являются вершинами правильной(r) /г-угольника, вписанного в единичную
окружность с центром в ни чале координат, в комплексной плоскости. -1
Для наших целей наиболее важен случай конечного поля /ш Однако основные
свойства корней нз единицы можно установив без ограничительного
предположения о конечности поля КЩ Как показывает следующая теорема,
структура множества определяется соотношением между числом п и
характеристикой поля К¦ Говоря ниже о характеристике р поля К" мы не
исключаеЯ случая р = 0. ,
2.42. Теорема. Пусть п ? М и К - поле характеристики яя Тогда Я
(i) Если р не делит /г, то множество является цикличЯ с кой подгруппой
порядка п мультипликативной группы поля K^lji
(ii) Если р делит пип = тре, где т, е ? М и р не делит яН то Kin) = К{т\
= Е<т> и корнями многочлена хп ---Я в поле К^п) являются т элементов
множества Е^т\ каждый йИ которых имеет кратность ре- '111
§ 4. Корни из единицы и круговые многочлены
85
Доказательство. (i) Случай п = 1 тривиален. Для п ^ 2 многочлен хп - I и
его производная пхп~1 общих корней не имеют, так как rtxn~l имеет
единственный корень 0 в ноле К{п). Поэтому по теореме 1.68 многочлен хп -
I не может иметь кратных корней, так что множество Е{п) состоит из
п элементов. Далее, если ?,
т) ? то (&гр1)Л = (t)")"1 = 1, так что Следо-
вательно, ?(n) - мультипликативная группа. Пусть п = р*" ...
... - разложение числа п на простые сомножители. Тогда такое
же рассуждение, как и прн доказательстве теоремы 2.8, приводит к
существованию для каждого С 1 " i < i, элемента а(- С Е{пК
который не является корнем многочлена хп/р* - 1, так что эле-
п/р7 ч
мент р/ = си имеет порядок рА и, следовательно, Е{п) - циклическая группа
с образующим элементом р - pj ... р*.
(ii) Это утверждение сразу вытекает нз (i) и равенств хп - 1 -
хтр' __ ! = (хт - 1 )Р\ ?
2.43. Определение. Пусть К - поле характеристики р и п -
натуральное число, не делящееся на р, Тогда образующий элемент
циклической группы Е^п) называется первообразным (или прими-тивным)
корнем п~й степени из единицы над полем К,
Из теоремы 1.15 (v) мы получаем, что если р не делит п, то существует
ровно ф (гг) различных первообразных корней гг-й степени из единицы над
полем К¦ Если ? - один из них, то все первообразные корни гг-й степени из
единицы над К имеют вид где 1 < s < гг, НОД (s, гг) = 1. Большой интерес
представляют многочлены, кориями которых являются все первообразные корни
п-й степени из единицы над полем К и только они.
2.44. Определение. Пусть К - поле характеристики р, гг - натуральное
число, не делящееся на р, и ? - первообразный корень гг-й степени из
единицы над Д. Тогда многочлен
Qn (х) = П (х- V)
НОД [S, п) = I
называется п-круговым (или гг-циклотомическим) многочленом над
полем Д.
Ясно, что многочлен Qn (х) не зависит от выбора элемента ?. Его степень
равна ф (гг), а его коэффициенты, очевидно, принадлежат гг-круговому полю
над К> Однако несложное рассуждение показывает, что на самом деле они
принадлежат простому подполю
поля /(¦ Будем ниже использовать символ для обозначения
произведения, распространяющегося на все натуральные делители d
натурального числа п
86
Гл, 2, Строение конечных полей
/<Й
2.45, Теорема. Пусть К - поле характеристики р и п - натуральное число,
не делящееся на р. Тогда
(i) хп - 1 =tlQd М;
d | п
(ii) коэффициенты п-кругового многочлена Qn (х) принадле% жат простому
под полю поля К¦ если р - простое число, ил кольцу % целых чисел, если р
