Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Применяя лемму 2.3 н теорему 1.46, получим
f (р9) - ат^т + .. - + а$я + я0 = ain$Qm + . - - + + во =
- (ат$т + ¦ • ¦ 4" - f (Р)? " О-
Поэтому элементы а, ал, се?2, ..., являются корнями мно-
гочлена /. Остается доказать, что эти элементы различны. Допустим
обратное. Тогда = аРк для некоторых целых / и &, 0 < / < k т - 1.
Возводя это равенство в степень qm-ь,
получим
= а*т = а.
Из леммы 2.12 тогда следует, что многочлен f (х) делит много
член - х> а по лемме 2.13 это возможно лишь в случае
когда число т делит т - k -f /. Но так как 0 < m - fc + / < tft то мы
получаем противоречие. ?
2.15. Следствие. Если f ? Fg lx 1 - неприводимый многочлен степени т, то
его полем разложения над полем является F^m.
72 Пт, 2, Строение конечных полей
Доказательство. Из теоремы 2.14 следует, что многочлен вполне разлагается
в поле F т* При этом для некоторого корня
многочлена f имеем (сс, сс?, сс?2, ') = F? (сс). Но из
*
доказательства той же теоремы 2.14 видно" что (сс) - F^m
2.16. Следствие. Поля разложения любых двух неприводимый& многочленов
одной и той же степени из кольца Fg 1х] изоморфны1
Введем более удобную терминологию для элементов, появляю-щихся в теореме
2.14, не зависящую от того, является элемент:
•Л*
ос ? F т корнем некоторого неприводимого многочлена степени ж|
из Fg [х] или нет.
2.17. Определение. Пусть F?m - расширение поля Fg, и пусть а ? fqtn.
Тогда элементы |
сс, а?2, . .., сс"т 1
называются сопряженными с элементом сс относительно поля fq. Сопряженные
с сс С F т относительно поля F элементы раз- "
О 5
¦~Л
&
4
1
личны тогда и только тогда, когда минимальный многочлен эле- I
_ > $
мента сс над имеет степень т. Если же это не так, то степень d
минимального многочлена элемента сс является собственным делителем числа
т, и тогда среди сопряженных с сс относительно F*| элементов различными
будут лишь элементы сс, сс^, сс^, ...1
сс9*"1, каждый из которых повторяется в ряду сопряженных mid раз 1).
2Л8. Теорема. Элементы, сопряженные с элементом, а С FJ относительно
любого подполя поля Fg, имеют один и тот же 1 порядок в группе fj.
Доказательство. Так как, согласно теореме 2.8, FJ - циклическая группа,
то этот результат следует из теоремы 1.15 (и) н того, что каждая степень
характеристики поля fq взаимно проста с порядком q - 1 группы FJ* ?
2.19. Следствие. Если а - примитивный элемент поля Fg, то примитивными
также будут и все сопряженные с ним, отно- й сительно любого подполя поля
Fg элементы.
¦ |
$
4
'J
&
2.20. Пример. Пусть сс ? Fie - корень многочлена / (х) = - х4 + х + 1 из
F* [х ]. Тогда сопряженными с сс относительно поля Р2 будут элементы сс,
а2, а4 = a + 1 и сся = а2 + 1, каждый из которых является примитивным
элементом поля Fie-
Л
х) Последнее вытекает из того, что ввиду а9(tm) - а совокупность а, а9,
*
"т-1
а? инвариантна относительно возведения ее членов в степень q. Прим.
перев,
§ 2. Корин неприводимых многочленов
73
Сопряженными же с сс относительно поля р4 являются лишь элементы се и се4
= се + 1. ?
Существует тесная связь между сопряженными элементами и автоморфизмами
конечного поля. Пусть рдШ - расширение поля Fg. Назовем автоморфизмом, а
поля р?т над Fg такой автоморфизм поля F?m, который оставляет
неподвижными элементы
поля Fg. Точнее говоря, аг - такое взаимно однозначное отображение из F"m
на себя, что аг (се + Р) -- аг (се) + аг (р) и аг (сер) - о (а) аг (р)
для любых се, р С Fg**. и аг (а) = а для любых
а С Fg.
2.21. Теорема. Различными автоморфизмами поля fqm над Fg являются
отображения а0, агь ..., аг^ц определяемые условиям,и
W
a j (а) = се**, где сс С Fgm, 0 < / < т - 1, и только они.
Доказательство. Для каждого отображения сы и любых се, р С с Fgm мы,
очевидно, имеем а^ (сер) = аг; (сс) аг, ф) и Gj (се + р) = - Gj (се) -f
Gj (р) ввиду теоремы 1.46, так что Gj является эндоморфизмом поля Fq^.
Кроме того, ог^ (ос) 0 тогда и только тогда, когда се = 0, так что аг; -
взаимно однозначное отображение. Но поскольку Fgm - конечное множество,
Gj является эпиморфизмом, а следовательно, и автоморфизмом поля Fgm.
Кроме того, по лемме 2.3 аг^ (а) - а для всех а ? Fg. Итак, каждое осесть
некоторый автоморфизм поля Fgm над Fg- При этом отображения ar0, arb ...,
arm"i различны, так как они переводят фиксированный примитивный элемент
поля Fgm в разные элементы.
Предположим теперь, что аг - любой автоморфизм поля Fgm над Fg. Пусть р -
некоторый примитивный элемент поля Fgm и / (лс) = хт + am_ixm~l + ... +
Оо € Fg [х] - его минимальный многочлен над Fg- Тогда
О = g (pm -f~ #m_iPm~! + •. ¦ + а0) ¦=
= ar (р)т -f~ ^м-1*7 (Р)т * "Т * * * "Т ^<ь
гак что элемент аг (р) ? Fgm тоже является корнем многочлена/.
Из теоремы 2.14 следует, что от (р) = р*; дДя некоторого /, 0 < < / < т -
1. Но так как аг - гомоморфизм, то тогда для лю-
V
бого се ? Fgm получаем сг (се) = се^ (поскольку любой элемент се Ф 0
представим степенью элемента р). ?
На основании доказанной теоремы ясно, что сопряженные с данным элементом
