Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Где 1, такой, что J совпадает с главным идеалом (g). Важно заметить, что
многочлен g неприводим в К ЬП. Действительно, во-первых, g имеет
положительную степень, так как он имеет корень 8, а во-вторых, если g =
hxh2 в К Ы, где 1 < < deg (hi) < deg (g), i = 1, 2, то из 0 = g (0) = hx
(0) h2 (0) вытекает, что либо hlt лнбо h2 принадлежит идеалу J и, значит,
Делится на g, а это невозможно.
1.81. Определение. Если элемент 0 поля F алгебраический вад подполем К
этого поля, то однозначно определенный норми-
48
Гл. I, Алгебраические основы
рованный многочлен g ? К [я], порождающий идеал J - \f ? К fxI | / (в) -
0\ кольца К Гх3" называется минимальным многочленом элемента 0 над полем
К- Под степенью элемента над полем К понимается степень его минимального
многочлена gt
1.82. Теорема. Если элемент 0 поля F является алгебр аиче* ским над
подполем К поля F, то его минимальный многочлен над К обладает следующими
свойствами:
(i) Многочлен g неприводим в кольце К 1x1.
(ii) Для многочлена К 1х 3 равенство f (0) = § выполняете в том и только
том случае, когда многочлен g делит /. v
(iii) Многочлен g является нормированным многочленом паи* меньшей степени
в кольце К U3, для которого 0 является корнем*
Доказательство. Свойство (i) уже установлено, a (ii) вытекае?! из
определения g. Что касается (iii), то достаточно заметить, чтй любой
нормированный многочлен из К [х ], для которого 0 яв ляется корнем,
кратен g и, значит, либо равен g, либо имеет сте пень, превышающую
степень g.
Отметим, что как минимальный многочлен алгебраического элемента 0, так и
степень этого элемента зависят от того поля /С" над которым
рассматривается этот элемент, так что нельзя гов рить о минимальном
многочлене или о степени элемента 0, указывая поля К (если, конечно, это
ие ясно из контекста).
Если L - расширение поля /(, то L можно рассматривать ка векторное (или
линейное) пространство над полем К. Элемент поля L (т. е. шкторы")
образуют по сложению абелеву группу! Кроме того, каждый "вектор" а С L
может быть умножен и ьскаляръ г С К, и при этом произведение га снова
принадлежит (здесь га - просто произведение в смысле операции поля L э
ментов г и а этого поля). Наконец, выполняются законы г (а + Р) = га +
гр, (г + s) а = га + sa, (rs) а = г (sa) и 1 а - si где г, s ? К, а, р ?
L.
"
1.83. Определение. Пусть L - некоторое расширение поля Если L,
рассматриваемое как векторное пространство над / имеет конечную
размерность, то L называется конечным расшир нием поля К. Размерность
векторного пространства L над называется степенью поля L над К и
обозначается [L : /(].
1.84. Теорема. Если L - конечное расширение поля К и М -яа конечное
расширение поля L, то М - конечное расширение поля причем
[М : Д] ~ [М: L] [L : КЗ.
'¦Ч
ж
Доказательство
\alt
...,М
L ] = m, [L : К ] = я, и пуст;
Vvf
&т} - базис векторного пространства М над L и |р1(
базис L над К- Тогда каждый элемент а ? М являете
§ 4. Расширения полей
49
линейной комбинацией а = угах YmGtm, где yt ? L, 1 <
.<r' i -< т, и, записывая каждое 7; через базисные элементы р/#
получим
гп т ( п \ /п п
" = ? Ti"/ = ? ( ? n$j)<*(=?? ruihai'
г-1 i=i \/=i j i~l /=1
где коэффициенты ri} лежат в К. Для доказательства теоремы теперь
достаточно доказать линейную независимость тп элементов Русс*, 1 <" i <
m, 1 / < п, над полем /С. Допустим, что
т п
? ? Siftpi = о <^1 /=1
с коэффициентами su из К. Тогда
и из линейной независимости элементов а1# ..., ат над L мы заключаем, что
п
? Si$j - 0 для 1 < i т.
/= t
Но так как элементы рь рп линейно независимы над К, мы делаем вывод, что
все зи равны 0. ?
1.85. Теорема. Каждое конечное расширение поля К является
алгебраическим над К¦
Доказательство. Пусть L - конечное расширение поля К, IL : К) = т и 0 С
L. Тогда т + 1 элементов 1, 0, 0Щ поля L являются линейно зависимыми над
К, так что имеет место равенство а0 аг 0 ~\- • + am0m - 0 с
коэффициентами at ? /С, не равными нулю одновременно. Но это означает,
что 0 - алгебраический элемент над /(\ ?
Изучим строение простого расширения К (0) поля К, полученного
присоединением к К некоторого алгебраического элемента. Пусть F -
расширение поля /С. и пусть 0 ? F - алгебраический элемент над К.
Оказывается, что К (0) - конечное (а потому и алгебраическое) расширение
поля К.
1.86. Теорема. Пусть 0 - элемент поля F, являющийся алее-драическим
степени п над подполем К поля F, и пусть g - минимальный многочлен
элемента 0 над К. Тогда
(0 Простое расширение К (0) изоморфно факторкольцу К Cl/te).
(ii) IK (6) : /О = rt и jl, 0, .... 0"-1} - базис векторного
Зак. 222
50 Гл. h Алгебраические основы |
-и-1 ¦¦¦ MIHWIIMH^^- IP^IIIPIII I III I || HIWIIM^Hl |I| ^
ццццр | I | bfr ?§
пространства К (в) tf"d полем К. I
(iii) Каждый элемент а ? /С (0) является алгебраичесшмй над полем К, и
его степень является делителем п. 1
Доказательство, (i) Рассмотрим отображение т: /С Г* ] "*1 -> /С (9)"
определяемое условием т (f) = f (0) для всех f ? Я U J,:; Очевидно, что т
