Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 20

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 371 >> Следующая

является гомоморфизмом колец. Заметим, что! Кегт = {/ ? К [х] | f (0) -
0| = (g) в силу определения мини мального многочлена. Пусть S - образ
отображения т, т. е. мно^| жество значений х) многочленов от х с
коэффициентами нз поля ifj при х - 0. Тогда по теореме о гомоморфизме
колец (теорема 1.4df| получаем, что 5 изоморфно фактор кольцу К \хУ(ё)~
Но в снлЙ теорем 1.61 и 1.82(i) факторкольцо К U]/(g) является полем*! а
следовательно, S - поле. Но поскольку К s 5 s К (0) А 0 ? S, по
определению простого расширения S - К (0) и (i|| доказано. 1
(ii) Так как S - К (0), то любой элемент а ? К (0) можнбЦ записать в виде
а - / (0) для некоторого f ? Я Ы. Применящ| алгоритм деления, находим
многочлены q н г из К 1х], такие, чтЖ f = Яё + г, где deg (г) < deg (g) -
п. Тогда а = f (6) = q (6) |j * g (0) + г (0) - г (0), и потому а
является линейной комбинЛ цией элементов 1, 0, ..., б*"1 с коэффициентами
из К. С другой! стороны, если для некоторых at ? К имеет место равенство
"Й| + "10 + *•¦+ "71-10^ ^ - О, то 0 является корнем многочлеар
h (х) = До + "1* + Ь "n-i^1-1 СЕ (л:], и потому h в силщ
теоремы 1.82 (ii) кратен g. Но поскольку deg (h) < п = deg (0Й это
возможно лишь при условии, что h - О, т. е. что все at равиы 0Э Поэтому
элементы 1, 0, ..., 0"~1 линейно независимы над ЦЩ что доказывает (ii).

(iii) Поле К (0) является конечным расширением поля Я ввиду (ii). Поэтому
элемент а ? К (6) будет в силу теоремы 1.Я алгебраическим над К- Далее, К
(а) - подполе поля К ($да Если d -- степень элемента а над Я, то из (ii)
и теоремы 1.84 еле дует, что п - [К (0) : Я] = (Я (В) - Я (а)] (Я (а)
:.Я], так чЩ d - [Я (сс) : Я1 делнт п. Я
Таким образом, элементами простого алгебраического расщд рения Я (0) поля
Я являются значения многочленов от х с козИ фициентами из поля Я при х -
0. При этом любой элемент пойя Я (0) может быть однозначно представлен в
виде а0 4- "10 + *Ж
... + "ц-1 В'1"1" где ах ? я, 0 < i < п-1. Я
Как подчеркивалось выше, в теореме 1.86 предполагается, чш поле Я и
элемент 0 принадлежат некоторому большему полю Л Это необходимо для того,
чтобы алгебраические выражения, содерИ жащие 0, имели смысл. Но сейчас мы
хотим построить простои
0 Многочлен над К можно рассматривать и как многочлен над F. - ЯражИ
перев, Щ
§ 4. Расширения полей 51
*. hi...................... | - .. ми % им i
алгебраическое расширение ajh ovo *), т. е. без ссылок на предварительно
заданное большее поле. Идея этого построения содержится в п. (i) теоремы
1.86.
1.87. Теорема. Пусть многочлен f ? К 1х] неприводим над полем К. Тогда
существует простое алгебраическое расширение поля К, образующим элементом
которого является некоторый корень многочлена /.
Доказательство. Рассмотрим факторкольцо L = К lx]f(f), которое по теореме
1.61 является полем. Элементами кольца L являются классы вычетов [h\ =h 4
(/), где h ? К Ы. Для каждого а мы можем построить класс вычетов
[а],определяемый постоянным многочленом а, и если а, Ь ? К различны, то
[а] ф lb], так как f имеет положительную степень. Отображение аь-> [а]
дает изоморфизм поля К на некоторое подполе К* поля L, так что поле К'
можно отождествить с К. Другими словами, мы можем рассматривать поле L
как расширение поля К. Для каждого многочлена h (х) ^ а^ ф агх 4 ... 4
атхт ? К 1х 1 в соответствии с правилами Действий с классами вычетов и
учитывая отождествление [aj - аь получаем
[h] - [а0 -}- ахх -|- ... -f - атхт] =
~= [?Zq] -)- [flfj] [jf] 4 ¦ ¦ • "I" l^ml l^]m ~ flo'4 ~Ь ' ' * "
Таким образом, каждый элемент поля L может быть записан как многочлен от
"переменной" (л:] с коэффициентами из К. Так как любое поле, одновременно
содержащее /Си [x]t должно содержать и каждый такой элемент [h], то L
является простым расширением поля К, получаемым присоединением элемента
[х]. Если / (я) -
- Ь$ 4 btx 4 ... 4 bnxn, то f (Ы) = bQ 4 Ьг 1х) 4 --.4 Ьл[х]л =
- (Ь0 4 Ьгх 4 4 bnxn] = If] = [01, так что [л:] является
корнем многочлена f н, следовательно, L есть простое алгебраическое
расширение поля К. ?
1.88. Пример. В качестве примера формального процесса присоединения
корня, описанного в теореме 1.87, рассмотрим простое ноле Т3 и многочлен
f (х) = х2 4 х 4 2 ^ f3 1x1, который неприводим над IF3. Пусть 6 = [х] -
некоторый "корень" многочлена f, т. е. класс вычетов х 4 (f) нз
факторкольца L = F3U ]/(/). Другим корнем многочлена f в L является тогда
20 4 2, поскольку f (2В 4 2) - (20 4 2)2 4 (20 4 2) 4 2 - 02 4 0 4 2 - 0,
Как следует нз теоремы 1.86 (ii), простое алгебраическое расширение L ~
F3 (0) состоит из девяти элементов: 0, 1, 2, 0, 0 4 1" 0 4 2, 26, 28 4 1,
20 4 2. Таблицы операций для L можно построить так же, как и в примере
1.62. ?
l) ab ovo- дословно "от яйца" (лат.), т, е. с самого начала. - Прим.
гЩе&"
52
Гл. I, Алгебраические основы
Заметим, что в рассмотренном примере мы могли бы вместо Щ присоединить к
полю Г 3 корень 20 + 2 того же многочлена Я и получили бы то же самое
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed