Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
fjclt хп \ снова может быть единственным образом представлен в виде
произведения постоянного сомножителя и нормированных простых элементов
кольца F [xlt ..., (где нормиро-ванность определяется подходящим
образом). Однако здесь при п >- 2 не существует аналога для алгоритма
деления, и F [х1( ... .... хп) не является кольцом главных идеалов.
Важным классом многочленов от п переменных являются симметрические
многочлены.
1.73. Определение. Многочлен f ? R [xj, ..., хп] называется
симметрическим, если для любой перестановки iL, .,,, целых чисел 1, ...,
п выполняется равенство / (хf , ..., х^) = f (xi, ...
' ' ' ! I
1.74. Пример. Пусть z- переменная над кольцом R [хъ ...
хп ], и пусть g (z) = (z - Xj) (z - x2) ... (z - xn). Тогда
g (2) - z" - a
n-1
n-2
V ft
-f- (- 1)" Gn>
где
- Ok (Xj, . . ., xn)
^аким образом
s
xt^ ¦ • ¦ Xifo - 1 i • • • , П).
a
Xl + x2 +
i " i
a
2 - X\X2 -j- XiX3
xm
f- Xlxn
хгха ~r - * * ~Ь Хаxn
* "
a
a
46 Гл. 1. Алгебраические основы
Поскольку многочлен g остается неизменным при любой перестановке
переменных хъ х2, то все ak являются симметри-
ческими многочленами от этих переменных н каждый из них однороден.
Многочлен crfe - <jk (хг, ..., xn) ? R Uj, ..., хп] называется k-м
элементарным симметрическим многочленом от переменных хх, хп над R.
Прилагательное "элементарные" применяется ввиду так называемой основной
теоремы о симметрических многочленах, гласящей, что для каждого
симметрического многочлена f ? R [хъ .хп ] существует единственный много-
членк ? R 1х1у ..., хп], такой, что f (хъ ..., хп) = h (alf crn).
? ;
1.75. Теорема (формула Ньютона). Пусть ст*, оп - элементарные
симметрические многочлены от переменных х1( хп над кольцом R, и пусть s0
- п ? IN и sk = Sk (xlt ..., хп) -
- х\ + ... + Хп ? R ixu хп] при k > I. Тогда для k ^ 1 справедлива
формула
Sfe " Sfc-l0! S^_202 - • * ' -f- (- I )m-!Sfe"m+iCFm_i
^ 1 )т Sk-mO>m = 0,
где m = min (k, n).
1.76. Теорема (формула Варинга). При тех же обозначениях, что и в теореме
1.75, для k 1 имеет место равенство
Sk = У (_ X)'.+',+/,+•• ¦ (|" t'" + . . , а1*'
^шт Н • ^'(1 ' ¦ ¦ " "Я *
где суммирование распространяется на все п-наборы (1Ъ ..., 1п)
неотрицательных целых чисел, удовлетворяющие условию ix -h
Л л
+ 2iz + ... Н~ nin - k. Коэффициент при сг*1 ... опп всегда я& ляется
целым числом.
ля
' 'У
•ii
%
г -St
§ 4. Расширения полей
• '::Ц
'! 'ft? ¦ О*
*
Щ
Пусть F - поле. Подмножество К поля F, которое само является полем
относительно операций поля F, называется подполем. В этом случае поле F
называется расширением поля К Если К ф F, будем К называть собственным
подполем поля t Если К - подполе конечного поля Fp при простом р, то он
должно содержать элементы 0 и 1, а значит, и все другие элемент^ поля Fp
в силу замкнутости поля К по сложению. Следовательно, поле Fp не имеет
собственных подполей. Так мы приходим к следующему понятию,
1.77. Определение. Поле, не содержащее собственных поД^ полей, называется
простым полем. ;
§ 4. Расширения полей
47
Как показывает предыдущее рассуждение, любое поле порядка р при простом р
- простое поле. Другим примером простого поля является поле Q
рациональных чисел.
Пересечение любой непустой совокупности подполей данного поля F - снова
подполе поля F. Пересечение всех подполей поля F называется простым
подполем поля F. Очевидно, что оно является простым полем.
1.78. Теорема. Простое подполе поля F изоморфно либо полю jp при
некотором простом числе р, либо полю Q, и в соответствии с этим
характеристикой поля F является либо р, либо 0.
1.79. Определение. Пусть К - подполе, поля F и М - любое подмножество
поля F. Тогда поле К (Af) определим как пересечение всех подполей поля F,
содержащих одновременно К и М; оно называется расширением поля К,
полученным присоединением элементов множества М. В случае конечного
множества М = " On} мы будем писать К (М) = К (9i, On). Если М состоит
из единственного элемента 0 ? F, то поле L = К (6) называется простым
расширением поля /С, а в - образующим (или порождающим) элементом
простого расширения L поля К-
Очевидно, что К (М) является наименьшим подполем поля F, содержащим
одновременно К к М. Определим теперь один важный тип расширений.
1.80. Определение. Пусть К - некоторое подполе поля F и 0 (; F. Если 0
удовлетворяет нетривиальному полиномиальному уравнению с коэффициентами
из поля /С, т. е. если anQn + ... + -f fljO -р 0О - 0, где элементы лежат
в К и не равны нулю одновременно, то элемент 0 называется алгебраическим
над К. Расширение L поля К называется алгебраическим расширением поля,/С,
если каждый элемент поля L является алгебраическим над К-
Пусть элемент 0 ? F является алгебраическим над /С. Рассмотрим множество
J ~ {f ? К fa] 1/(9) = 9}. Легко проверить, что J - идеал кольца К Тле],
причем J Ф (0), так как 0 - алгебраический элемент над К- Но в таком
случае, согласно теореме
1.54, существует однозначно определенный нормированный многочлен g ? К
