Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 16

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 371 >> Следующая

классе вычетов g + (/) содержится единственный многочлш! г ? F [х], для
которого deg (г) < deg (/); этот многочлен простИ является остатком при
делении g на f. Процесс перехода от |§| к г называется приведением по
модулю f. Единственность многсИ члена г вытекает из того, что если
существует многочлен гх щ| ? g + (/)* такой, что deg (rj < deg (/), то
разность г - гх должнН делиться на Д но поскольку deg (г - г4) < deg (/),
то это воз|| можно лишь при гх = г. Различные элементы, образующие файя
торкольцо F [х ]/(/), можно теперь описать явно: а именно sdfl классы
вычетов г -f (/), где г пробегает все многочлены из F [jflj
§ 3. Многочлены
41
степени, меньшей чем deg (/). Таким образом, если F = |р" и deg ш = п^>
0, то число элементов факторкольца Fp lx\! (f) равно числу многочленов
степени, меньшей п, в кольце Fp [*], т. е, рп.
1.62. Примеры
(i) Пусть / (х) = х ? F2 1х]. В этом случае рп ~ 21 многочленов степени,
меньшей I, из F2 U] определяют полный набор классов вычетов, составляющих
факторкольцо f2 [х]/ (х), так что это факторкольцо состоит из классов
вычетов [0] и П ] и, следовательно, изоморфно полю Fs-
(ii) Пусть / (х) = х2 -f х -f I ? Fs Ub В этом случае факторкольцо F2 [jc
1/ (/) состоит из рп = 22 элементов [0], U ], [х], \х Н~ 1]. Для
построения таблиц сложения и умножения этого факторкольца нужно
произвести требуемые операции над многочленами, определяющими
соответствующие классы вычетов, а затем, если нужно, привести результаты
по модулю /. Мы получаем следующие таблицы:
+ [0] [1] [X] [х+П
[0J [0] [1] [*] [х+1 J
[1] [1] [0] [ЛЕ+1] и
1х] [х] [x-j-l j [0J [1]
[Х+1 1 [x-f-1 ] [х] [1] [0]
* [0] [11 [*] [я-И]
[0J [0] [0J [0] [0]
[I] [0] [1] [х] [х-|-1 ]
[X] [0J [х] [x-f-1 J [И
[х+11 [0] [x-f-1 ] [I] [X]
Из этих таблиц видно, что факторкольцо F2 M/(f) является полем (это
следует также из неприводимости многочлена f (х) - - х2 -[- х + I над
полем Fa на основании теоремы 1.61). Это наш первый пример конечного
поля, число элементов которого не является простым числом.
(iii) Пусть f (х) = х2 + 2 ? F3 U1- Тогда факторкольцо Рз 1л:]/ (/)
состоит из рп = З2 классов вычетов Л0], [13, [2], fx], [х -т- 1], [х +
2], [2х], \2х + П, 12х 2]. Таблицы опе-
раций факторкольца F3 \х]1 (/) опять можно получить, производя
соответствующие операции над определяющими классы вычетов многочленами с
последующим приведением по модулю / (когда это нужно). Поскольку F3
[*3/(Д - коммутативное кольцо, достаточно найти лишь элементы таблиц
операций, стоящие на главной диагонали и над нею.
42
Гл. I. Алгебраические основы
[Of [If [2] fx] [x411 [x42] [2x] [2x411 [2x42]
[01 [0] m [2f fx] [x41 ] [x42 ] [2x] [2x411 [2x42
]
[1] [2] [0] 1x41 J [x42 ] [x] [2x411 [2x42 ]
12X]
[2] [1] [x42 ] [x] [x411 [2x42] [2x] [2x4" I ]
[х] [2x1 [2x411 [2x421 [0] [I] [2]
fx+1 ] [2x42 ] [2x] [I] [2] [0]
fx42] [2x41 ] [2] [0] [I]
[2x] [x] [ X-|-11 ] [x42 ]
[2x-j-1 ] [x-f-2] [*]
[2x42] [ x-j- I ]
[0] [If [2] [x] [x41 ] 1x42] 12*] [2x411 [2x42 ]
[0] [0] [0] 10] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
HI П ] [2] lx] [x41 ] 1x42] [2x] [2x41 ] [2x42 ]
[2] [1] [2x] [2x42 ] [2x411 [x] [x42 ] [x+1
]
[x] [1] [x-f-1 ] [2x41 ] [2] [x42 ]
[2x42]
[x4 I ] [2x42 ] [0] [2x42 ] [0] [x4H
1x4*2] [x42 ] [x42 ] [2x411
[0]
[2x] [1] [2x411 [x4l 1
[2x41] [x-f-2] [0]
[2x42 ] [2x42 ]
Заметим, что факторкольцо F3 \x\i (/) не является полем (и даже J не
является целостным кольцом). Это соответствует и теореме I.6I, поскольку
/ (х) - х2 4 2 = (х 4 I) (х 4 2) приводим над F3. ? ?
Пусть снова F - произвольное поле н / (х) 6 F [х]. Тогда j замена
переменной х в многочлене / (х) произвольным элементом j поля F обращает
этот многочлен в корректно определенный эле- ) мент поля F. Точнее, если
f (х) - й0 + ахх 4 ... 4 апхп ? F fx] и b ? F, то, заменяя х на Ь,
получаем элемент / (Ь) - а" 4 4 ахЬ 4 ... 4 апЬп ? F. Будем его называть
значением много- \ члена f (х) при х = Ь. Если в кольце F [х] имеется
какое-либо (полиномиальное) равенство, то, заменяя в нем х произвольным |
фиксированным элементом Ь ? F, мы получаем равенство в поле F J (принцип
подстановки). 1
Ъ
1.63. Определение. Элемент b ? F называется корнем- (или нулем)
многочлена / ? F [х], если f (Ь) 0. 1
Следующая теорема устанавливает важную связь между кор- | нями н
делимостью. |
V
<
1.64. Теорема. Элемент Ь С F является корнем многочлена '
f С F fx ] в том и только том случае, когда многочлен х - Ь
делит /. !
Доказательство. Применяя алгоритм деления (см. теорему 1.52), t можно
написать / (х) = q (х) (х - Ь) 4 г, где q ? F fx], с С F. j
§ 3. Многочлены
43
Подставляя элемент b вместо переменной х, получим / (6) = с, откуда f (х)
= q (я) (х - Ь) + / (Ь). Из этого равенства легко следует доказываемая
теорема. ?
1*65, Определение. Пусть Ь ? F - корень многочлена / ? ? F [х].
Кратностью корня Ь называется такое натуральное число к, что / (х)
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed