Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
I
1.58. Лемма. Если неприводимый многочлен f из F \х] делит | произведение
ft ... fm многочленов из F [х], то по крайней мере Щ один из сомножителей
fj делится на f. I
Доказательство. Так как многочлен / делит произведение ! ft ... fm, то в
факторкольце F [xV(f) мы получаем равенство (/х + 1 + (/>) ¦ •. (f" + (0)
= о + (f). Поскольку на основании теоремы 1 l,47(iv) это факторкольцо
является полем, то для некоторого ! /, 1 < / < т, должно выполняться
равенство /; + (/) = 0 + (/), 1 а это означает, что многочлен / делит fj.
? J
§ 3. Многочлены
39
1.59. Теорема (об однозначном разложении на множители). Каждый многочлен
положительной степени / ? F [х] (где F - поле) может быть представлен в
виде произведения
(1.7)
где а. 6 Е, Д, ¦¦¦" /л -различные нормированные неприводимые многочлены
из F [х], а еи е&- натуральные числа. Более того, зто разложение
однозначно с точностью до порядка, е котором- расположены сомножители.
Доказательство. Возможность представления любого непостоянного многочлена
f ? F [х] в виде (1.7) доказывается индукцией по степени многочлена /,
Случай deg (/) = 1 тривиален, так как любой многочлен первой степени
неприводим иад F. Предположим теперь, что требуемое разложение
установлено для всех непостоянных многочленов из F [х] степени <п. Если
deg (/) - п и / неприводим над Е, то / = а (а-1/), где а - старший
коэффициент /, - требуемое представление, так как а-1/ - нормированный
неприводимый многочлен из F [х]. Если же / приводим, то он допускает
разложение / == gh, где g, h ? F [х], 1
< deg (g) < п, 1 beg (h) < n, По предположению индукции можно g н h
представить в виде (1.7), а следовательно, можно в таком виде представить
и /.
Для доказательства единственности предположим, что / имеет два разложения
вида (1.7):
f = aft...(l* = bgdi (1.8)
Сравнение старших коэффициентов дает а - Ь. Далее, неприводимый многочлен
Д из F [х] делит правую часть равенства (1.8), и потому (ввиду леммы
1.58) он делит один из многочленов gj,
* Д / < г. Но многочлен gj тоже неприводим в кольце F [х], так что gj ~=
с!ъ где с - постоянный многочлен. Так как gj и /1 оба нормированы, то gj
= f^r Таким образом, мы можем в равенстве (1.8) сократить fx и gj и к
полученному равенству применить тот же прием. После конечного числа таких
шагов мы убедимся, что оба разложения в (1.8) совпадают с точностью до
порядка сомножителей. ?
Разложение (1.7) будем называть каноническим разложением многочлена f в
кольце Е [х]. Если поле Е совпадает с полем Q рациональных чисел, то
существует метод Кронекера, позволяющий найти каноническое разложение за
конечное число шагов. Этот метод вкратце описан в упр. 1.30. Для
многочленов над конечными полями алгоритмы разложения будут описаны в гл.
4.
Основным вопросом для многочленов из F fx] Является вопрос 0 том,
приводим или неприводим данный многочлен иад полем F.
fh t k
40 Гл. 1. Алгебраические основы
Для наших целей особенно интересны многочлены, неприводимы^ над простым
полем Fp. Чтобы найти все неприводимые нормиро! ванные многочлены данной
степени п над полем Fp, можно снай чала найти все приводимые
нормированные многочлены степени щ над этим полем, а затем исключить их
из множества всех нормиро! ванных многочленов степени п над FP- Однако,
если числа А или п велики, такой метод непригоден, и мы в § 2, 3 гл. 3
разовьем более мощные методы. J
в
1.60. Пример, Найдем все неприводимые многочлены стеж пени 4 над полем F2
(заметим, что каждый ненулевой многочлеш из Fa [х] автоматически
нормирован). Всего существует 24 = 19 многочленов 4*й степени над F2-
Такой многочлен приводим тогдж и только тогда, когда он имеет делитель 1-
й или 2-й степенщ} Найдем поэтому все произведения вида (а0 -f ахх -f
а2х3 + х*)(^о-щ 4- х) и (Оо + ахх + х2) (&о 4* + х2)* где а(*, bj?
Fa" - ЭТШ
и будут все приводимые многочлены 4-й степени из Fa \х] ИсклкЗ чив их из
полного набора многочленов 4-й степени над Fa* полу|| чим искомые
неприводимые многочлены: [х (х) = х4 -f х + II /а (х) = х4 + х(r) -f 1 и /з
(х) = X4 -f Xs + X2 -f X -f 1 . Гд
Поскольку именно неприводимые многочлены над полем Ж являются простыми
элементами кольца F [х], следующий резуль* тат (одна часть которого уже
была использована в лемме 1-5896 непосредственно вытекает из теорем
!.47(iv) и 1.54. ||
1.61. Теорема. Пусть f ? F [х]. Для того чтобы факторщ кольцо F [х 31(f)
было полем, необходимо и достаточно, чтобЛ многочлен / был неприводим над
полем F щ
С целью подготовки к следующему параграфу мы останеЯ вимся подробнее на
строении факторкольца F Iх ]? (/), где / -в произвольный ненулевой
многочлен из F [х]. Это факторкольщВ состоит из классов вычетов [g] - g +
(/), где g ? F [x], a one рации вводятся формулами (1.2) и (1.3). Два
класса вычетов ? + (щ xh + (f) совпадают в том и только том случае, когда
g = h (mod /fjj т. e. когда многочлен g - h делится на f. Это равносильно
требщ! ванию, чтобы g и h давали один и тот же остаток при делении на щ В
