Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
перестановочным многочленом поля то многочлен f (х) ф ах ни ири каком а ?
F? не является перестановочным многочленом поля Fр. В этой же работе
выдвинута еще одна гипотеза: если f С Z [х ],
(/) ^ 2, р ~ достаточно большое простое число и многочлен f (а-),
рассматриваемый по модулю р, не является перестановочным многочленом поля
Fp, то найдется элемент с С FP, такой, что многочлен f (х) ф с является
неприводимым над полем FP.
§ 3. Теорема 7.18 была получена Карлицом в работе Саг-Wz [49]. Для
случаев q -= 5 и q = 7 этот результат был получен раньше соответственно в
статьях Betti [1] и Dickson [2]. Аналог теоремы 7.18, связанный с
транспозициями в произвольных по-приводится в работе Carlitz [90]. С
теоремой 7.18 также связано понятие квазиперестановочного многочлена
(crude permutation polynomial) (см. Carlitz [93], а также упр. 7.22-
7,24). Теоремы 7.19 и 7,21 получены в статье Wells [41. Результат упр.
7.19 можно найти в работе Fryer [1 ], Образующие групп Sg+i и Ля+и
выраженные через рациональные функции над полем r9, приведены в работе
Wells [4], Подгруппы группы Sp, р - простое
4 Зац. 24з
4 82
Гл, 7. Перестановочные многочлены
.y>*i
s4;*
число, порожденные некоторыми перестановочными многочлена!# поля fp,
изучались в статье Fryer [2].
Теоремы 7.22 и 7.23 получены в работе Nobauer [10]. Tpynrf G (I)
исследовалась также в книге Lausch, Nobauer [I, ch. 41 В статье Huie,
Muller [1] охарактеризованы группы G (а), являг; щиеся циклическими.
Группы, аналогичные группам G (а), $[ связанные с кольцами вычетов Z/(m),
изучались в работах Nobar ег [2] (в случае а - 0) и Lausch, Muller,
Nobauer \.1 ], Miilier Ely Nobauer [12] (в случае a ¦=¦ ±1). Обобщения на
случай иесколЙ ких переменных см. в примечаниях к § 5,
Группа Бетти-Мат ье впервые появляется в работах Bet}
[2], [3] и Mathieu [1 ]. Затем эта группа была исследована Ди} соном
(Dickson [2], [5], [7, part 1, ch. 51). Им же в pa Dickson [2] получен
следующий критерий: для того чтобы L (Ц являлся перестановочным
многочленом поля F г, необходимо f
достаточно, чтобы det А Ф 0. В этой же работе установлено вш|1 имно
однозначное соответствие между элементами группы БеттйЩ Матье и группы GL
(г, Fg). Тот факт, что эти две группы и#5 морфны (теорема 7,24), впервые
установлен в работе Bottema ||р (см, также Carlitz [91 ]). Изоморфизм
между алгеброй лине.ариз рованиых многочленов вида (7.12) и алгеброй г X
г-матриц ЦТ' полем fq установлен в статьях Brawley, Carlitz, Vaughan и
Vaughan Т. Р. 11]. Ограничение этого результата на груф| обратимых
элементов снова приводит к теореме 7.24. В упомянут| выше работе Brawley,
Carlitz, Vaughan [1] также изучал#; группа перестановочных многочленов,
для которых коэффициент а* в (7.12) берутся из данного подполя конечного
поля F г. ;
Группы перестановочных многочленов, образуемые мног членами из теоремы
7.10, а также связанными с ними многой*#! нами, изучались в работе Ahmad
[2], Fillmore 11 ], Lausch, N5b| uer [I, ch. 4], Wells 111, 13]. В работе
Carlitz, Hayes 11] из! чалась группа всех перестановочных многочленов
ноля F?rc коэ^
фнциентами из поля F*; Мэттьюз (Matthews R. [3 ]) перенес Щ результаты на
случай многочленов от нескольких переменны' Нидеррайтер н Робиисон
(Niederreiter, Robinson 12]) показалн, Щ перестановочные многочлены поля
F^ ц нечетно, вида ах^+1)/2 + Щ образуют группу относительно композиции
по модулю Xя-с Результаты упр. 7.20 и 7,21 (а также аналогичные
результат^ показывающие, что большинство перестановок, которые перш щают
лишь очень малое число элементов поля Fgt представляют# многочленами
степени q - 2) можио найти в работе Wells [5! Другие группы
перестановочных многочленов кольца 2ЦШ помимо упомянутых выше, изучались
в статьях Nobauer (ПДА
Из свойства (7.10) следует, что многочлены Диксона gh (х, -с а - I
коммутируют относительно операции композиции так
Комментарии
483
лак и многочлены с а - 0. Этот результат породил многочисленную
литературу, посвященную изучению многочленов /, g над полем F,
удовлетворяющих условию / (g (х)) = g (/ (*)). Классическими работами в
этой области являются работы Fatou [1], Julia П I, Ritt [2], в которых
изучается случай, когда F является полем комплексных чисел. Важным
является понятие V-цепи, означающее последовательность многочленов над
полем F, не являющихся постоянными и коммутирующих друг с другом, в
которой содержатся многочлены всех положительных степеней., В статье
Block, Thielman [1] описаны все V-цепи над полем F -- R. Якобсталь
(Jacobsthal [3]) показал, что с точностью до естественной эквивалентности
все V-цепи над полем F характеристики 0 - это V-цепи, образованные
многочленам^ Диксона с а 0 или а - I. Аналогичный результат для
произвольного поля F получен в работе Kautschitsch [I] (см. также Lausch,
Nobauer [I, ch. 4], Lid! [7]). Многочлены над полем коммутирующие с
данным линейным многочленом, описаны в работе Mullen [131; случай
