Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
и перестановочнымЩ многочленами над полем F имеющими по каждой из k
перемен*
Т
ных степень, меньшую чем qm.
Доказательство. Пусть {щ, ыт} - базис векторного про| странства Е -¦ Тдт
над полем F?. Каждый набор (уи ..., у&) ? Е
однозначно определяет набор (сь ..., с") ? FJ по формуле
у{ = С{1-j j + С I) m-i-2^2 -|..... Ь Oitn&mi 1 '
Пусть многочлены /у, ..., fm имеют по каждой из п переменный степень,
меньшую чем q, и образуют при этом ортогональную систему над полем Fg. В
силу (7.20) и леммы 7.40 найдется един
§ 5, Перестановочные многочлены от нескольких переменных
471
ственный многочлен g над полем ?\ имеющий по каждой из своих k переменных
степень, меньшую чем qmy и такой, что
g (7l > - ¦ • " 7ft) (tm) /l ' ' ' * ~h ' ' ' ~h fm {^1* * * *" Cn) (7'24)
для всех наборов (уА, ук) ? Ek. Тогда g является перестановочным
многочленом над полем Е. Действительно, для любого сс ^ -f- "f- С
^* где аш (* Fgi равенство
? (7𠦦¦* 7ft) = а выполняется тогда и только тогда, когда Т(сг, cnj ah
где 1 j ^ т. Таким образом, имеется ^ (qm)k~l решений вида (ylf ...,
yft). С другой стороны, если g--данный перестановочный многочлен над
полем ?\ имеющий по каждой из своих к переменных степень, меньшую чем ^т,
то ортогональная система многочленов Д, ...f, fm над полем Fg
рассматриваемого типа может быть однозначно восстановлена с. помощью
многочленов иад полем Fg, имеющих по каждой из своих переменных степень,
меньшую чем q. Эго многочлены Д, ...
[т из формулы (7.24), которые представляют собой координатные функции
относительно базиса {<"" ..., &)т). П
В частном случае т ~ п мы получаем такое простое следствие из доказанной
выше теоремы:
7.45. Следствие. Существует взаимно однозначное соответствие между
ортогональными системами над полем Fg, которые состоят из п многочленов
над полем Fg, имеющих по каждой из п своих переменных степень, меньшую
чем q, и перестановочными многочленами от одной переменной над полем f
имеющими степень, меньшую чем цп>
Нетривиальные примеры ортогональных систем можно получить с помощью
следующего обобщения многочленов Диксона
(см, §2). Для п ? IN, а ? Fg и (с\, сп) ? Fg рассмотрим
многочлен
г fe, . ¦ СПУ г) - - CtZ* ф с***-1 -ф
ф (- Xfcnz +¦ (-l)"+*a (7.25)
от переменной г над полем Fg. Этот многочлен имеет п + 1 не
обязательно/различных корней р,, prt+1 в подходящем расширении поля рд.
Пусть теперь k ? N; положим
(^Ь - * • Gnt Щ ) * * • " P"+i)#
Тогда
rh (с, , . . сп, г) -
г + ~ О] (pf, ..р?-и) + (- 1^*+* (рД ", p^_j_i)t
ГДе aj есть i-й элементарный симметрический многочлен от п + I переменных
(ср. с примером 1.74), Так как ot (и\, ukn+1)
472
Гл. 7. Перестановочные многочлены
является симметрическим многочленом от переменных ии ип
то существуют многочлены g(k\ от п + I переменно
над Z, такие, что
on C^i" • • • (о-! (и\, • •.* l-]), . г ., а" j j (ti] " • ¦ •
*
1 < / <
/2
Учитывая.
чаем
что pj, .рп+1 - корни многочлена (7.25), пол#
ОТ (Pl> • - Pti+j) = Ci для 1 < i < nt
Пп4-1 (Pi* ¦ - •* Рги-l) pi * * * Рп + 1 ~ Ci*
j4
¦Ji
так что
Oi (pf,
t t
, р?-н) = ff* 1 (Cl, . . Cny G) для 1 < i </2 -f 1.
Л4
Подставляя полученные выражения в rh (ct, сПУ г), пол у чае
Г к (Ci, . . ., С/j, Z) - 2° (Cjt . . Cftt
Л) 2
tt
/V
и и *
Ш *
(- l)nffin)(C|, .. сЛ, сг)2 h(-1)
п-f-t
а'
Многочлены
•л
.'у
¦i
являются многочленами от xlt ..., хп, а над Z и, таким образов являются
многочленами над полем if'g от переменных хъ xf Последние многочлены
называются многочленами Диксона от переменных лад полем fq. Это
определение можно сделать с держательным для любого коммутативного кольца
R с единицей!
Выберем а? R. Если п -¦ I, то многочлен |$J (хи а) совпада с многочленом
Диксона от одной переменной, определенным фо мулой (7.6).
Явное выражение для многочленов (х\, ..." xtu о) мож получить из формулы
Варинга (см. теорему 1.76). Например для п --- 2 получаем
gi11 (X, у, а) =
LV2J Lfc/з j
~ S 2 1
(^0 /-о
Через gk (а) обозначим систему, состоящую нз многочлен^
g{li {хи хп,а), gin] (*ь ..." Хп, а). Справедливо следу:; щее обобщение
теорем 7.16 и 7.8 (ii).
7.46. Теорема. Если а ? FJ, то система gk(a) являе ортогональной системой
многочленов над полем Fg тогда и толы тогда, когда НОД (ky qs - 1) = 1
для всех $ ^ 1, 2, п f '
• С
V
k
k - i - 2/
- I - 2/
* f ¦
14-;
i
t
"
/
Комментарий
473
Система gu (0) ортогональна над Fg тогда и только тогда, когда НОД (&> 9s
- 1) - 1 для всех s - 1, 2, ..., п.
Как было установлено выше, каждый многочлен, входящий в ортогональную
систему gk (а), является перестановочным многочленом от п переменных над
полем Fg. Другой класс перестановочных многочленов от нескольких
переменных можно получить, рассматривая линейные и квадратичные
многочлены. Заметим, во-первых, что свойство быть перестановочным
многочленом над полем инвариантно относительно любых преобразований
переменных вида
П
*\ = ? + blt I <1/ < nt (7.26)
/"i
где aih hj ? Fg, 1 < U j < и, а матрица (a^) невырожденна. Назовем два
