Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
многочлена от п переменных над полем Fg эквивалентными, если один из них
может быть преобразован в другой с помощью преобразований переменных вида
(7.26).
7.47. Теорема. Пусть f ? Fg 1х1т хп], причем deg (/) < 2
и п ,}> 2. Если q нечетно, то / является перестановочным многочленом над
полем Fg тогда и только тогда, когда он эквивалентен многочлену вида g
(хи xn_i) + хп для некоторого g ? ?FgU1} xn,i]. Если же q четно, то /
является перестановочным многочленом над полем Fg тогда и только тогда,
когда он эквивалентен или многочлену вида g (хь x7l_i) -f xnt или
многочлену вида g (х\, ..., хп_|) + х2п, где g(xi, Хд-i) - некоторый
многочлен из FgUi, ..., xn_jj.
Пусть ц нечетно, f?FgUi, ..." хп] и deg (/) < 2, и пусть А - матрица
коэффициентов квадратичной формы, соответствующей многочлену f (см. § 2
гл. 6). Пусть А' - расширенная матрица, образованная матрицей А и еще
одним столбцом, содержащим коэффициенты линейных членов. Тогда нз теоремы
7.47 легко следует, что / является перестановочным многочленом над полем
Fg в том и только том случае, если rg (А') > rg (Л).
Комментарии
§ 1. Изучение перестановочных многочленов как таковых было начато в
работе Эрмита (Hermfte [2]), где рассматривался случай конечных простых
полей. Отдельные результаты из числа первых в этом направлении можно
также обнаружить в работах Jordan С. [2], Serret [21. Перестановочные
многочлены произвольного конечного поля впервые изучались в работе
Диксона Dickson [2]. Основные результаты, полученные в этой работе, можно
также найти в монографии Dickson [7, part I, ch. 5].
4/4 Гл. 7. Перестановочные многочлены
История развития этой области до 1922 г. освещена в книгеJ Dickson [42,
ch. 181. Результаты современных исследований na j перестановочным
многочленам представлены в книге Lausch, | Nobauer f 1, ch. 4 j. I
Тот факт, что любую функцию из Fg в можно представить Л с помощью
многочлена иад полем f был впервые отмечен ЭрмитомШ (Hermite [21) для
простого q (см. также Weber [4, sec. 180], | Zsigmondy [31) и Диксоном
(Dickson [21) для произвольного q-,I В той же. работе Диксон показал, что
условие 'deg (g) < q поз-1 воляет однозначно определить многочлен g,
представляющий дан" | ную функцию. Различные методы получения многочлена
g в яв-| ном внде обсуждались в работах Bernstein [21, Gill, Jacob [П,|
Szekely, Mure$an in. Wesselkamper [1]. В работах Zsigmondyy| [33, Dickson
[21 и Carlitz [861 было отмечено, что перестановочные I мпогочлеиы поля
Fg можно получать, применяя интерполяцион-1 ную формулу к функциям,
осуществляющим перестановки зле- "I ментов множества Fr Полиномиальные
представления для функ-1 ций из Fp в себя, принимающих лишь значения 0 и
1, рассматри-Jj вались в статьях Carlitz [1231 и Cazacu [1 ].
Весселькампер 1| (Wesselkamper 121, 131) изучал аналогичные представления
для! функций, определенных на подмножествах поля Fg. 1
Конечные поля являются полиномиально полными в смысле! следующего
определения: кольцо R называется полиномиально|| полным, если любая
функция из R в себя может быть представлена! многочленом над R. Кемпнер
(Kempner 111) показал, что среди! колец вычетов Z/ (т) полиномиально
полными являются только! конечные простые поля (см. также Bernstein [2J).
В работе Redeijj Szele 11J доказан более общий результат, а именно что
среди не-1 нулевых коммутативных колец полиномиально полными являются!]
только конечные ноля, а Хайслер (Heisler [1J) доказал тот же! результат,
но без требования коммутативности. Общее обсуждение! полиномиально полных
алгебраических структур можно найтш! в книге Lausch, Nobauer [1, ch. Ц.
Пользуясь более общим по-с| нятием многочлена над кольцом R, Броули и
Карлиц (Brawleyvj Carlitz [21) показали, что каждую функцию нз R в себя
можно! представить таким многочленом тогда и только тогда, когда RII
является тривиальным кольцом порядка 1 либо 2 (т. е. когда! аЬ - 0 для а,
Ь б R) или когда R является кольцом пХп-мат-1 риц над конечным полем Fg
Для некоторого п б N. Поднноми-j альиые функции над кольцами последнего
типа изучались также ! в статье Brawley [5]. 1
Некоторое внимание уделялось изучению функций, отобража-J ющ fix кольцо
Rm - Zf(m) в себя. Если т -составное число, то, J согласно отмеченному
выше результату Кемпнера (Kempner не всякую такую функцию можно
представить многочленом над! кольцом Rm. Критерии для существования
такого представлении
•'••Тхт
Комментарии 475
получены в работах Kempner [1], Redei, Szeie [1], [2], Carlitz [97].
Множество Рт всех функций из кольца Rm в себя, которые могут быть
представлены многочленами над Rm, само является кольцом относительно
обычных операций сложения и умножения функций. Простое применение теоремы
о гомоморфизме колец показывает, что кольцо Рт изоморфно факторкольцу Rm
[*1//т, где (т I/ € Rrn [x]\f (а) = 0 для всех а ? Rm}. Многочлены,
содержащиеся в идеале /т, называются вычетными многочленами по модулю т.
Различные свойства этих многочленов изучались в работах Aizenberg,
