Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Semion, Citkin [1], Kempner [1], Litzin-ger П 1, Niven, Warren П ],
Redei, Szeie [i], Singmaster П]. Дальнейшие результаты, касающиеся
полиномиальных функций над Rm, можно найти в работах Keller, Oison 111,
Nobauer [11, Redei, Szeie [21. Свойства вычетных многочленов над
произвольными кольцами рассматривались в книге Lausch, Nobauer П, ch. 3].
Одно из утверждений леммы 7.3, а именно что из условия (i) следует
условие (ii), уже содержалось в лемме 6.3. Обратное утверждение, даже в
более сильной форме, можно найти в работе Carlitz, Lutz 11]. Критерий,
сформулированный в теореме 7.4, для конечных простых полей был получен в
по существу эквивалентной форме в работе Эрмита Hermite [21; для случая
произвольных полей он был получен Диксоном в работе Dickson [21. В работе
Rogers L. J. [2 ] отмечено, что в случае простого числа q условие (ii)
необходимо проверять лишь для i t (?- П/2, однако при составном q это не
так (см. Dickson [7, sec. 961). Критерий Эрмита в явной форме, выраженный
через коэффициенты многочлена/1, для простых полей приводится в работе
London, Ziegler [1 ]. Следствие 7.5 было получено Диксоном для простого
числа q в работе Dickson [11, а для общего случая - в работе Dickson [2].
Доказательство достаточности в теореме 7.6 можно найти в статье Carlitz,
Lutz П1. Другие критерии того, чтобы многочлен был перестановочным
многочленом, содержатся в работах de Polignac [1], Raussnitz [1], Vaughan
Т. P. [11.
По вопросу приложений перестановочных многочленов конечных полей к
конечным проективным геометриям мы отсылаем читателя к § 3 гл. 9 и
комментариям к этому же параграфу.-В работе Levine, Brawley [21 показано,
как перестановочные многочлены конечных полей можно использовать для
построения криптографических систем.
Перестановочные многочлены колец вычетов Z/(m) рассматривались в работах
Nobauer [11, [21, [41, [81 (см. также Cavior [5], Keller, Olson [11,
Niven-[21, Zane til). Теорию перестановочных многочленов над некоторыми
обобщениями колец вычетов можно иайти в книге Lausch, Nobauer [1, ch. 41.
В работе Brawley, Carlitz, Levine [2] (см. также Matthews R. Ill),
476
Гл. 7, Перестановочные многочлены
щ
м
Ъ''Л1
а также в статье Brawley 14 ] изучались такие многочлены над F которые
индуцируют перестановки в кольце пXn-матриц над п лем faf а в работе
Brawley [31 рассматривался более общий случай, когда полер^ заменяется
произвольным коммутативным коль?§ цом с единицей. Човла (Chowla P. Ill) и
КДрзатт (Corzatt [Г исследовали многочлены, индуцирующие перестановки
множеству целых чисел. Рациональные функции, индуцирующие нереста*! новкн
элементов поля Fy, рассматривались в работах Redei 14 J, Carlitz 186 ]f
Cohen S. D. 15], 161, 19], Gwehenberger 11 ]
Nobauer [8], 1П]. Последний автор рассматривал также случа) _ кольца
вычетов Z/(m), У
Перестановочные многочлены поля fg характеризуются свойС ством V (/) -¦
q, где V ([) - мощность множества {/ (с) | с б fq}, т. е. множества
значений, которые может принимать! данный многочлен / (х) ? Fq [х] на
всех элементах поля Fq|J Величина V ([) изучалась и для произвольных
многочленов / (я)
? fq \х]. Для многочленов малых степеней можно получит^ точные формулы,
выражающие величину V (/); случаи линейны и квадратичных многочленов
являются совсем простыми, формуй лы для кубических многочленов н
многочленов четвертой степени специального вида можно найти в работах von
Sterneck 11] Kantor [1 ]. Човла поставил задачу получить оценки для
величиф V (/) (Chowla S. 17]). Бёрч и Свшшертон-Дайер в работе Birch
Swinnerton-Dyer 11 ] получили следующий замечательный результат: если /
(х) ? fq fx] - многочлен степени п "^> 1, которы является "общим"
многочленом (в том смысле, что группа Галу
уравнения [ (х) у над полем Fq (У), где Fq замыкание поля Fq, является
симметрической
у
У
я
- алгебр а и чес к* группой Sn), fi
п
У in-я
(-1>'
}
п
О ((у'/2)
fs
причем остаточный член зависит только от величины п. Для а результат
аналогичного типа упоминается в работе Chowla S: [71, а его элементарное
доказательство можно найти в работ! McCann, Williams [2]. Несколько
раньше Бёрча и Свиннертонй| Дайера Утияма (Uchiyama [2]) доказал
следующий более слабы результат: если я >• 4 и многочлен [f (х) - f (у)
]/(х - у) являете абсолютно неприводимым, то V {/) Д> qj'2 при условии,
что харак теристнка поля Fq достаточно велика. Вильямс (Williams К- S;
[4]) оценил число "общих" многочленов над полем фиксиро# ванной степени п
и получил точные формулы для малых п. Р(c) зультаты о среднем значении
величины V {/), когда / пробега все нормированные многочлены
фиксированной степени п полем fq, удовлетворяющие условию / (0) - 0,
можно найти в р&§ ботах Carlitz [61 ], Uchiyama 13], [6]; см. также
Carlitz, Uchiyaml
щ
Комментарии
477
j|]s Williams К- S. [4]. Случай, когда фиксированы коэффициенты прн более
высоких степенях переменной в многочлене / (я), исследовался в работах
